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4.7相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知、分别在的、边上，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，过点作于点，交于点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
7．《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”，这句话描述了小孔成像的现象及原理．老师在物理课上制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，点燃蜡烛测得蜡烛及火焰的长为，要想得到高度为的像，请你计算一下，蜡烛到纸筒的水平距离应该为（ ）
A． B． C． D．
8．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长为16米（如图），然后在A处树立一根高3米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（ ）
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
9．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，光源到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕图形的高度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，，则下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④图中有3对相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在口ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么SΔBEF：SΔBCF=（ ）
A．1：6 B．1：4 C．1：3 D．1：2
12．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝6，BD＝2，若△ADE的面积是27，则△ABC的面积是（　　）
A．24 B．36 C．48 D．52
二、填空题
13．如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ．
14．比的意义：
两个数 又叫做两个数的比．“：”是比号，读作比；比号前面的数叫做比的 ，比号后面的数叫做比的 ．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．若AB=3，AD=2BD，则AF= ．
16．已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 .
17．如图，中，，，，则的长是 ．
三、解答题
18．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
19．问题：如图，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．
（1）当时， ______；
（2）设，请你用含字母的代数式表示．
问题：如图，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题的解法或结论，用含字母的代数式表示．
20．如图，在锐角三角形中，，F为上一点，且，并交于点M，点G在上，且，求证：．
21．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
22．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC=BD AB
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．
23．如图，平行四边形的对角线交于点，是边上一点，连接交于点，且，若，求的长．
24．如图，，分别是与边上的高．
求证：．
《4.7相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D B A C B C C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，它们的相似比是，
∴，
∵，
∴；
故选D．
2．C
【分析】由勾股定理可求AC＝6，通过证明△DEB∽△CAB，可得，即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可．
【详解】解：∵相似，
∴，
∴，
∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，符合题意
故选：B．
4．D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．依据可得，再根据，即可得到相似比为，即可得到的值．解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应边上的高之比等于相似比．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
即．
故选：D．
5．B
【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵小明与大树都与地面垂直，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
6．A
【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵在中，E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
7．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．直接利用相似三角形对应高的比等于相似比解题．
【详解】解：设蜡烛到纸筒的水平距离是，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是，
故选：C．
8．B
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】解：由题意可知，
即，
∴楼高=12（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．C
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例，本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是：找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
【详解】解：如图，
，
，
，
设屏幕上的图形高是，则，
解得，
经检验是原方程的解，
故选：．
10．C
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的性质．
由题中条件可得，进而得出对应线段成比例，得到，根据点E是即可推出，故可判断结论①；由得到，根据，，可得，从而证得，因此，即可判断结论②；由题意易证与的三边不相等，即可判定结论③；综上可得，即可判断结论④．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴，，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，即
是的中点，
∴，
，
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴与不全等，故③错误；
∵，，
∴，
∴有3对相似三角形．故④正确．
综上所述，结论正确的有3个．
故选：C
11．D
【分析】证明△EBF∽△CDF，得到EF:CF=BE:CD=1:2，△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BECD，
∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF，
∴△EBF∽△CDF，
∴，
△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，本题的关键是能根据平行四边形的性质得到△EBF∽△CDF，进而求出对应边之比，然后再根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比求解．
12．C
【分析】先根据DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则，其中AD＝6，AB＝6+2＝8，S△ADE＝27，通过适当变形求出S△ABC的值即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝6+2＝8，
∴，
∵S△ADE＝27，
∴S△ABCS△ADE27＝48，
∴△ABC的面积是48，
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”列出等式再求出△ABC的面积是解题的关键．
13．
【分析】由三角形中位线定理易求得设阴影部分的面积与△CBA的面积的比值，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ED∥AB，且DE＝AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴S△CDE＝S△CBA．
同理，S△FPM＝S△FDE＝S△CBA．
∴S△FPM+S△CDE＝S△CBA．
则＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理与几何概率的求法，关键是利用中位线定理求出阴影部分面积与整个三角形面积的比值．
14． 相除 前项 后项
【解析】略
15．
【分析】先计算出BD，AD＝2，BC＝3，∠B＝∠BAC＝45°，再根据旋转的性质得到∠DCE＝90°，CD＝CE，则可判断△CDE为等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，然后证明△ADF∽△BCD，则利用相似比可计算出AF．
【详解】解：∵AB＝3，AD＝2BD，
∴BD，AD＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴BCAB＝3，∠B＝∠BAC＝45°，
∵CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，∠EDC＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BCD，
即∠ADF+∠EDC＝∠B+∠BCD，
∴∠ADF＝∠BCD，
而∠DAF＝∠B，
∴△ADF∽△BCD，
∴，即，
∴AF．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
16．
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解．
【详解】解：∵点D是线段的中点，
∴
∵
∴，
即，
解得．
故答案为．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，，
，
解得：．
故答案为：．
18．问题一：；问题二：；问题三：见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得．
问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得；
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【详解】解：问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
19．问题一：（1）；（2）；问题二：
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
问题一：（1）证明，得到，得到，进行求解即可；
（2）同法（1）即可得出结论；
问题二：分别延长，交于点O，同探究一的方法进行求解即可．
【详解】解：问题一
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即；
问题二：
分别延长，交于点O，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴由问题1的解法可知：．
∵，
∴，
∴，
即．
20．见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质． 先判断出四边形是平行四边形得到，由，知，，又因为，得到，从而得到，根据等式性质得，根据有两组对应角相等的两三角形相似可证相似，最后代换即可．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
由，知，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在与中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)16
(3)BP的长度为2或3或6或7．
【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；
（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为:
（2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明△BDC∽△BCA，由相似的性质可以得出．则可以得出结论．
（2）证明△ABC∽△CBD，可得，设BD=x，则AB=x+1，得出，解出方程即可得到答案．
【详解】（1）∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B
∴△BDC∽△BCA
∴
∴
（2）∵AB＝AC，∠BAC=36°
∴∠B＝∠ACB＝72°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A
∴∠BDC＝72°＝∠ACB
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
∵∠BDC＝∠B＝72°
∴BC=CD=1
∵∠ACD＝∠A＝36°
∴AD=BC=CD=1
设BD=x，则AB=x+1
∴
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形是相似三角形是解决问题的关键．
23．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，，进而可得，即得，得到，即可得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
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