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4.1成比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，若，则等于( )
A． B． C． D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（ ）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
4．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（ ）
A． B． C． D．
5．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
7．若y﹣2x＝0，则x：y等于（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如果，那么下列比例式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为，下半身为，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，则的值为 ．
14．已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ．
15．若，则 ．
16．A、B两地之间的高速公路为120 km，在A、B间有C、D两个收费站，已知AD：DB＝11：1，AC：CD＝2：9，则C、D间的距离是 km．
17．已知a：b：c=3：4：5，则= ．
三、解答题
18．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
19．已知三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断的形状．
20．已知，求的值．
21．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)
22．如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，．
(1)求的长；
(2)若的面积为70，求的面积．
23．已知线段、满足，且．
(1)求线段、的长；
(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长．
24．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
《4.1成比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A A A D A B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】根据比例的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据比例的性质，线段成比例的计算方法即可求解．
【详解】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，理解比例的性质，掌握线段成比例的计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵米，米，米
∴
∴（米）．
故选：C．
【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键．
【详解】解：设两地间的实际距离为，
由题意得：，
解得：，
两地间的实际距离为，
故选：C．
5．A
【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中．
6．A
【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等比性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】根据比例的基本性质解答即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质求解．
8．D
【分析】把原式变形为，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键．
9．A
【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．
【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，
令，设，则，则由，代值得，解得，
，
，
点分别是线段的黄金分割点，
，，，
，，，
将，代入求解即可得到，，，
故选：A．
【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．
10．B
【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得．
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴可得：，
又∵，，，
∴，
解得：，
∴线段的长为．
故选：B
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键．
11．C
【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答．
【详解】选项A中，因为所以，故A不符合题意；
选项B中，因为，所以，故B不符合题意；
选项C中，因为，所以，故C符合题意；
选项D中，因为，所以，所以，所以，故D不符合题意．
故选：C．
12．C
【分析】设高跟鞋的高度为，则根据下身长与自己的身高之比是黄金分割数，解出即可得出答案．
【详解】解：设高跟鞋的高度是，
则，
解得：，即高跟鞋的高度应为．
故选：C．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值，进一步根据黄金比的值求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
13．2
【分析】本题考查了比例性质，直接把代入进行化简，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2
14．或
【分析】根据黄金分割点，若，即可求解．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，
∴，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查黄金分割点的定义，线段的比例，掌握线段的比例关系是解题的关键．
15．/
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．设，利用比例的性质可得出，，，再代入求值即可．
【详解】解：设，则，，，
∴，
故答案为：．
16．90
【解析】略
17．
【解析】略
18．(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
19．(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判断求解；
本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形．
20．
【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，设每份为k，
则，，．
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键．
21．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键，如果，那么．
根据比例的性质计算即可．
【详解】（1）解：根据比例的基本性质，得
，
∴，
∴．
经检验，是原比例式的解．
（2）根据比例的基本性质，得，
∴，
解得，．
经检验，，是原比例式的解．
22．(1)，
(2)28
【分析】（1）先求得，再根据求得；由求得；
（2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得，则，再由，求得的面积．
【详解】（1），，，，
，
，
；
，
，
，；
（2）设点到的距离为，点到的距离为，
，
，
，
，
的面积是28．
【点睛】此题重点考查成比例线段、高相等的两个三角形的面积的比等于底的比等知识，根据线段成比例求出线段的长是解题的关键．
23．(1)线段的长为6，线段的长为4．
(2)线段的长为
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得答案．
【详解】（1）解：，
设，，
∵，
，
，
，，
线段的长为6，线段的长为4．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
24．米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
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