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4.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，能使成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，具备下列条件①，②，③，④之一，就可以判定与相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．下列四组条件中，能识别与相似的是（ ）
A．，；，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，；，
8．下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是 的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为 的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是 的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为 的两个等腰三角形相似
9．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，点P在边上，则在下列条件中，不能证明相似的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若的三边长分别是3，5，6，则与相似的的边可能是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
12．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，要使，需要补充一个条件可以是 ．（只需要填写一个即可）
14．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个）
15．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．

16．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
17．如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．
三、解答题
18．如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？
19．如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
21．如图，在与中，，，求证：．

22．如图，正方形的边长为4，，E为的中点．求证：．
23．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．
《4.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C D C B C C
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
2．B
【分析】先根据勾股定理算出的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与各边是否能形成比例，得出答案．
【详解】解：根据勾股定理得
，
，
，
选项A中，三角形三边长分别是2，，，与三边不成比例，故A选项不正确．
选项B中，三角形三边长分别是2，4，，与成比例，比例为，根据三边成比例的两个三角形相似，故B选项正确．
选项C中，三角形三边长分别是2，3，，与三边不成比例，故C选项不正确．
选项D中，三角形三边长分别是，，4，与三边不成比例，故D选项不正确．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键．
3．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，故A选项不符合题意；
∵，，
∴，故B选项不符合题意；
∵，，
∴，故C选项不符合题意；
∵，，
∴无法证明，故D选项不符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：由图可知：，
若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意；
若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意；
若，不能判定与相似，故B符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当时，无法判定，故A不符合要求；
当时，无法判定，故B不符合要求；
当，时，可以判定，故C符合要求；
当时，无法判定，故D不符合要求；
故选：C．
6．D
【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，条件①符合题意；
∵仅有，无法确定与相似，
∴条件②不符合题意；
∵，，
∴，条件③符合题意；
∵，，
∴，条件④符合题意．
综上所述，具备条件①③④之一，即可判定与相似．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
7．C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案．
【详解】解：A不正确：
∵，；，，
∴，，
∴不相似；
B不正确：
∵与不是边，与，的夹角，
∴不相似；
C相似：
∵，，，，，，
∴，，
∴相似；
D不相似：
∵不是，的夹角，是边与的夹角，
∴不相似．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①若对应三边的比相等，则三角形相似；②若对应两边的比相等，及其夹角相等，则三角形相似；③若有两个角对应相等，则三角形相似．
8．B
【分析】根据相似三角形的判断方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析即可．
【详解】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项错误．
B.因为比值为，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项正确．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项错误．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项错误．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：有两组角相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，熟记判定定理是解题的关键．
【详解】解：A．当时，
，
，故A不符合题意；
B．当时，
，
，故B不符合题意；
C．当时，即，
而，
∴所以不能判定和相似，故C符合题意．
D．当时，
∵，
，故D不符合题意．
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
B、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
C、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
D、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项符合题意．
故选：D．
12．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴是顶角为，底角为的等腰三角形，
A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意；
B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意；
C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意；
D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意；
故选：C．
13．
【分析】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】解：可添加条件：．
证明如下：
∵，，
∴，
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似：
，
当时，；
当时，；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似：
，
当时，；
综上所述，添加或或，使得，
故答案为：（答案不唯一）．
15．2
【分析】本题可分2种情况：①作，则，因此符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D作，那么符合所求直线的要求．
【详解】解：如图；

①作；
∵，，
∴；
②作．
∵，
∵，
∴
因此共有2种作法，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
16．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就是与△ABC相似的三角形．
【详解】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．
17．或或
【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
18．过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似
【分析】由，，：，即：：，利用勾股定理即可求得与的长，然后设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，则可得，，，再分别从当时，∽与当时，∽，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：，，：，即：：，
设，，
则，
即，
解得：，
，，
，
设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，
则，，，
是公共角，
①当，即时，∽，
解得：，
②当，即时，∽，
解得：，
过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键．
19．见解析．
【详解】由等边对等角得，由三角形的内角和定理，得到，即可得到结论成立．
【分析】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：两个角对应相等，则这两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似．
20．见解析
【分析】根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC，进而利用相似三角形的判定证明即可．
【详解】证明：在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠BED，∠ADE=∠B，
∴∠DEB=∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC=∠DEB，∠C=∠B，
∴△ADC∽△DEB．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，根据题意求出∠B=∠C，∠BED=∠ADC是解题的关键．
21．见解析
【分析】类似证明判定定理1的思考和分析，分别在射线、上截取，，构造，则．从而可得结论．
【详解】解：如图，分别在射线、上截取，，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理的证明，熟记沪教版的三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边是解本题的关键．
22．见解析
【分析】根据正方形的性质，可得，再根据题意可得，即可求解．
【详解】证明：在正方形中，，，
∵E为的中点
∴，
又∵，
∴
∴
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，涉及正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23．见解析
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴，
∵，
∴．
24．△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得△BEC∽△ADC．
【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
又∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°
∴∠ADC=∠BEC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
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