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4.8图形的位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，则下列说法中不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．是相似比 D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
2．如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
3．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）

A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
4．下列说法正确的是 ( )
A．两个等腰三角形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似的几何图形
C．位似图形对应顶点的连线一定不在同一直线上
D．位似图形一定是全等图形
5．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点在轴上．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的纵坐标是，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
7．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．将以点为位似中心放大为原来的倍，得到，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．(3, 1) B．(-2, -1)
C．(3, 1)或(-3, -1) D．(2, 1)或(-2, -1)
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，将以为位似中心，扩大得到，其中，，则与的相似比为 ．
14．已知，，将以坐标原点为位似中心，放大得到，且面积是面积的倍，则的对应顶点的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系中，与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，若点B的坐标为，则其对应点的坐标是 ．
16．如果两个位似图形的对应线段长分别为和，且两个图形的面积之差为，则较大的图形的面积为 ．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与到△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A不在同一象限内，则点A1的坐标为 ．
三、解答题
18．下图中，△ABC与△DEF是位似图形.那么，DE与AB平行吗 为什么 EF与BC呢 DF与AC呢
19．已知边长为1的正方形，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形．
20．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
21．如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
22．如图所示，O为△ABC内一点．
(1)以O为位似中心，作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2∶1；
(2)以O为位似中心，作△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1∶2；
(3)若△ABC的周长为12 cm，面积为6cm2，请分别求出△A1B1C1，△A2B2C2的周长和面积．
23．按要求完成下面各题：
(1)三角形AOB顶点B的位置用数对表示是 ．
(2)画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形．
(3)按2∶1的比画出三角形AOB放大后的图形．
24．如图，途中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出位似中心点O，△ABC与△A′B′C′的相似比是　 　．
（2）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2：1．
《4.8图形的位似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B C C B D C D
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】已知BC∥DE，△ABC与△ADE不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心是A，点B与点E，点C与点D是对应位似点，AB：AD是位似比．
【详解】因为BC∥DE，所以△ABC与△ADE相似，A正确；点A是两个三角形的位似中心，B正确；根据位似图形的定义可知点B与点E，点C与点D是对应位似点，AB:AD是位似比，则C正确，D错误.故选D.
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质.
2．D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形的性质得出答案．
【详解】解：如图，位似中心是点P．
故选D
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
3．D
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
∴，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选：D．
4．B
【分析】位似图形的概念是如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相 平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形图形．
【详解】A. 若两个等腰三角形中的角不相等，所以其不相似，所以其更不是位似图形，故本选项错误；
B.位似图形即相似图形，所以其一定是形状相同的几何图形，故本选项正确.
C. 位似图形对应的顶点的连线一定在同一直线上，否则其不为位似图形，故本选项错误；
D. 位似图形必是相似图形，但不一定是全等三角形，故本选项错误；
故选:B.
【点睛】考查了位似图形的基本性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.
5．C
【分析】先根据位似图形的性质可得点的纵坐标的绝对值等于点的纵坐标的绝对值的2倍，再根据点位于轴下方即可得．
【详解】解：由题意得：，
由位似图形的性质得：点的纵坐标的绝对值等于点的纵坐标的绝对值的2倍，
即点的纵坐标的绝对值为，
在轴的下方作的位似图形，
点位于轴下方，
点的纵坐标小于0，即为，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和位似图形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键
根据相似三角形的判定定理逐一分析判定即可
【详解】解：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；正确.
②顶角相等的两个等腰三角形相似；正确.
③任意两个菱形一定相似；不正确.
④位似图形一定是相似图形；正确.
综上分析可得，正确的有：①②④，共3个，
故选：C.
7．B
【分析】根据位似图形的定义逐一判定即可得答案．
【详解】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，
③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，
④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，
∴正确的有③④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查位似图形的定义，记住位似图形的性质是解题的关键①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
8．D
【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且，
即与的相似比为，
又∵，
∴点的坐标为，即点的坐标为．
故选：D．
9．C
【分析】利用位似图形的性质得出位似比进而得出面积比．
【详解】∵ 将以点为位似中心放大为原来的倍，得到，
∴ 与的位似比为，
则＝．
故选：C
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比和面积比是解题关键．
10．D
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题意即可得出答案．
【详解】∵A（4，2），B（2，-2）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（2，1）或（-2，-1）．
故选D．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离比也等于相似比是解决问题的关键．
11．D
【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
作轴，轴，如图，利用相似三角形的性质求得和的长度，进而即可求解．
【详解】解：作轴，轴，如图

∵， ， ，
∴，，，
∴，，
∵由题意可得：
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴点A坐标为
故选：C
12．C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
13．/
【分析】根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：与关于点成位似图形，
，
则与的相似比为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义和性质．
14．或．
【分析】根据面积是面积的倍，可得到与的相似比为，当与在位似中心的同侧时，点横纵坐标都乘以，当与在位似中心的异侧时，点横纵坐标都乘以，即可求解．
【详解】解：如图，
以坐标原点为位似中心，放大得到，
∽，
面积是面积的倍，
，
相似比，
，
，
，
同理可得：．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换，位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于或，本题知道位似图形面积之比是相似比的平方是解题的关键．
15．或
【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把点横纵坐标分别乘以或得到其对应点的坐标即可．
【详解】解：∵与的相似比是，并且是关于原点的位似图形，而点B的坐标为，
其对应点的坐标是或，
即点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
16．
【分析】设较大的图形面积为x ，则较小的图形面积为x-120，由位似图形的对应线段长分别为2cm和6cm，可知面积比为1：9的相似比为1：3，所以面积比为1：9，列出方程即可求出较大的图形面积.
【详解】设较大的图形面积为 ，则较小的图形面积为x-120 ，
∵位似图形的对应线段长分别为2cm和6cm，
∴两个图形的相似比为1：3，
∴两个图形面积比为1：9，
∴ ，
解方程得：x=135，
故答案为135
【点睛】本题考查了位似知识，熟练掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键.
17．（﹣1，2.5）．
【详解】分析：根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
详解：在同一象限内．∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A1的坐标为：（1，﹣2.5）．
不在同一象限内．∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A1的坐标为：（﹣1，2.5）．故答案为（﹣1，2.5）．
点睛：本题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18．DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析.
【分析】根据位似图形是相似图形，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∴DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC.
故答案为DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，理由见解析.
【点睛】本题考查位似的性质，关键是明确位似比与相似比的关系.
19．见解析
【分析】取正方形ABCD的对角线AC和BD的交点O为位似中心，再分别将OA、OB、OC、OD延长一倍，得到对应的点、、、，然后顺次连接、、、，则利用位似的判定方法可判断四边形满足条件．
【详解】解：如图，正方形即为所求．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤，先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形
【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A；
②是位似图形，位似中心是点P；
③不是位似图形；
④是位似图形，位似中心是点O；
⑤不是位似图形．
【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念．
21．(1)，与不是位似图形；
(2)6
【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点，
∴与不是位似图形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
22．(1)如图，△A1B1C1就是所要求作的三角形．见解析；(2)如图，△A2B2C2就是所要求作的三角形．见解析；(3)△A2B2C2的周长为6cm，面积为cm2.
【分析】(1)根据位似图形的性质以及△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1，分别延长OA，OB，OC到点A1，B1，C1，使得OA=A A1，OB=B B1，OC=C C1，连接各点即可；
（2）分别连接AO、BO、CO，取AO、BO、CO的中点A2，B2，C2，连接各点即可；
（3）根据位似图形的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
计算即可．
【详解】(1)如下图，△A1B1C1就是所要求作的三角形．
(2)如上图，△A2B2C2就是所要求作的三角形．
(3)设△A1B1C1的周长为cm，面积为cm2，则，.
解得＝24，＝24.
即△A1B1C1的周长为24cm，面积为24cm2.
设△A2B2C2的周长为cm，面积为cm2，
则，.解得＝6，＝.
即△A2B2C2的周长为6cm，面积为cm2.
【点睛】此题（1）、（2）问主要考查了位似图形的画法，正确得出对应点位置是解题关键．（3）问考查了位似图形的性质：位似图形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
23．(1)（2，4）
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据网格即可得三角形AOB顶点B的位置；
（2）根据旋转的性质即可画出三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后的图形；
（3）根据2：1的比即可画出三角形AOB放大后的图形．
【详解】（1）解：三角形AOB顶点B的位置用数对表示是（2，4）；
故答案为：（2，4）；
（2）如图三角形即为所求；
（3）如图，三角形 即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24．（1）1：2；（2）见解析.
【分析】（1）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于OA与OA′的比，即可求解.
（2）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于2，因此OA1=2OA，所以OA1=12．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
【详解】解：（1）如图1，点O为所作；
∴OA：OA′＝6：12＝1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为1：2；
（2）如图2，△A1B1C1为所作．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，掌握根据条件画图是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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