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广东省汕头市潮南区司马浦公校2025年中考一模数学试题
1．（2025·潮南模拟）中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入20元记作元，那么支出10元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．10元
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元．
故答案为：C．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．（2025·潮南模拟）下图是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从左面看，得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，即看到的图形如下；
故选：C．
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据题意，从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，据此可得答案．
3．（2025·潮南模拟）据报道，2024年建发厦门马拉松赛于1月7日7时30分鸣枪开跑，本次赛事参赛人数近136000人，创赛事历史新高．将数据136000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将136000用科学记数法表示为，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2025·潮南模拟）下列各图中，的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角的概念；内错角的概念
【解析】【解答】解：观察图形可得：
A、，
∴此选项符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据对顶角相等可判断求解；
B、根据邻补角互补可判断求解；
C、根据两直线平行同位角可判断求解；
D、根据两直线平行内错角可判断求解．
5．（2025·潮南模拟）化简的结果为（　　）
A． B． C．9 D．6
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质“、”化简并结合各选项即可求解．
6．（2025·潮南模拟）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
7．（2025·潮南模拟）山西省中考体育考试将足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考项目4（学生自选一项），若考生任选一项参加考试，则甲考生选择篮球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同，
则考生选择考篮球的概率为，
故答案为：C．
【分析】由题意可知，考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同，然后根据概率公式计算即可求解．
8．（2025·潮南模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故答案为：B．
【分析】设人数为x人，物价为y钱，利用“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，列关于x，y的二元一次方程组即可．
9．（2025·潮南模拟）如图，是的外接圆，为直径，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后由角的和差计算可求解．
10．（2025·潮南模拟）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
又∵菱形ABCD的面积为=，
∴
∴矩形的面积=．
故答案为：A．
【分析】由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，结合题意可得、都是的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，然后由矩形面积即可求解．
11．（2025·潮南模拟）计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
12．（2025·潮南模拟）一元二次方程的根为　 　．
【答案】，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
，．
故答案为：，
【分析】由题意，方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
13．（2025·潮南模拟）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
14．（2025·潮南模拟）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵直角中，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
15．（2025·潮南模拟）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵以为斜边构造等腰直角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴点在直线上，
当时，取得最小值，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFCE是矩形，结合题意，用角角边可证△ACE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等可得CE=CF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形是正方形，由正方形的对角线平分每一组对角可得，于是可得点在直线上，当时，取得最小值，然后根据锐角三角函数sin∠DOC=计算即可求解．
16．（2025·潮南模拟）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=-3；
（2）解：，
将①代入②中得，，
解得，
把代入①得，①，
∴方程组的解为．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解；；
（2）观察方程组，将方程①代入方程②可得关于y的一元一次方程，解之求出y的值，再把y的值代入方程①求出x的值，然后写出结论即可．
（1）解：；
（2）解：，
将①代入②中得，，
解得，
把代入①得，①，
∴方程组的解为．
17．（2025·潮南模拟）为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下：
九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）；
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46．
九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
九（1） 82 51.8
九（2） 82 84 85
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由．
【答案】（1）83；85；
（2）解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得：，
，
前名同学的成绩的方差，
．
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”求出a的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”求出b的值；根据方差的定义“一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差”可求得c的值；
（2）根据在平均数、众数相同的情况下，中位数更高，情况更好可判断求解．
（1）解：由题意得：，
，
前名同学的成绩的方差，
．
（2）解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．
18．（2025·潮南模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）．
（1）求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
（3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
【答案】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，
列方程得
．
（2）解：依题意，得：
，
整理，得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元；
（3）解：依题意，得：
，
整理，得：．
∵，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出，化简即可求解；
（2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价30，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价；
（3）由“利润（售价进价） 销售量润”列方程，整理成一般形式，计算判别式的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解．
（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得
．
（2）解：依题意，得：
，
整理，得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元
（3）解：依题意，得：
，
整理，得：．
∵，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
19．（2025·潮南模拟）如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分．
（1）用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，．
（2）求证：四边形是菱形；
【答案】（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）证明：由折叠的性质得：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）利用尺规作图作的线段垂直平分线，与，，分别交于点，并连接，即可求解；
（2）先根据折叠的性质可得，，，由题意，用角边角可证，根据全等三角形的对应边相等可得，则，然后根据菱形的判定“四边都相等的四边形是菱形”即可求证．
（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）证明：由折叠的性质得：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．（2025·潮南模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
【答案】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出n的值，然后用待定系数法可求得直线解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后根据三角形面积的构成可求解；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可求解．
21．（2025·潮南模拟）综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）问长方形的长应为多少？
【答案】（1）解：∵周角的度数为360度，
∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是；
（2）解：作的平分线，与的交点就是1的位置；
（3）解：∵，
∴，
∴长方形的长为厘米．
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；钟面角；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据钟面角12个数字平分一个周角计算即可求解；
（2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置；
（3）根据锐角三角函数tan∠AOC=即可求解．
22．（2025·潮南模拟）综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
（2）如图2，当落在对角线上时，求的长；
（3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
【答案】（1）解：连接，
由折叠得：，垂直平分.
∵在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∵，
∴.
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3.
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，
中，，
由折叠得：，，，
设，则，，
根据勾股定理得，，
则
解得
∴线段长度最小时的长为3.
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 由等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质得到即可求解；
（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等可得，然后根据锐角三角函数即可求解；
（3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理求得AC的值，由折叠得：，，，设，则，，在Rt△ECD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．（2025·潮南模拟）综合运用
如图1，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，，点P在线段上，点Q在线段上，四边形为正方形（与A在的异侧），正方形与重叠部分的面积为S．
（1）求直线的函数关系式；
（2）当正方形的边恰好落在上时，求边长的长度；
（3）设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）．
【答案】（1）解：当时，，
∴交点A的坐标为．
设直线的表达式为：
直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的表达式为：

（2）解∶∵点A的坐标为，
∴的高，
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
，
∴即
解得．
答：当正方形的边恰好落在上时，的边长为；
（3）分三种情况：当落在恰好落在OB时， 如图
点P在直线上，点P的横坐标为m，
得，解得，即．
∴，；
②当落在三角形外部时，如图，
．
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
∴，
点P在直线上，点P纵坐标为，代入直线，
．
即．
∴
③当MN落在三角形内时，如图，
同理可得，
，
综合上述情况可得，S关于m的函数关系式是.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据点A在直线y=x上可求出交点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数关系式；
（2）由点A的坐标为，可得的高．根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得关于PQ的方程，解方程可求解；
（3）由题意分三种情况：①当落在恰好落在OB时；②当落在三角形外部时，根据相似三角形的性质可求解；③当MN落在三角形内时，根据正方形的面积等于边长的平方可求解．
（1）解：当时，，
∴交点A的坐标为．
设直线的表达式为：
直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的表达式为：
（2）解∶∵点A的坐标为，
∴的高，
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
，
∴即
解得．
答：当正方形的边恰好落在上时，的边长为；
（3）分三种情况：
当落在恰好落在OB时， 如图
点P在直线上，点P的横坐标为m，
得，解得，即．
∴，；
②当落在三角形外部时，如图，
．
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
∴，
点P在直线上，点P纵坐标为，代入直线，
．
即．
∴
③当MN落在三角形内时，如图，
同理可得，
，
综合上述情况，S关于m的函数关系式是
1 / 1广东省汕头市潮南区司马浦公校2025年中考一模数学试题
1．（2025·潮南模拟）中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入20元记作元，那么支出10元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．10元
2．（2025·潮南模拟）下图是由几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体从左面看，得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·潮南模拟）据报道，2024年建发厦门马拉松赛于1月7日7时30分鸣枪开跑，本次赛事参赛人数近136000人，创赛事历史新高．将数据136000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·潮南模拟）下列各图中，的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·潮南模拟）化简的结果为（　　）
A． B． C．9 D．6
6．（2025·潮南模拟）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·潮南模拟）山西省中考体育考试将足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考项目4（学生自选一项），若考生任选一项参加考试，则甲考生选择篮球的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·潮南模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·潮南模拟）如图，是的外接圆，为直径，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·潮南模拟）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点，于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
11．（2025·潮南模拟）计算：　 　．
12．（2025·潮南模拟）一元二次方程的根为　 　．
13．（2025·潮南模拟）函数的图象与y轴的交点坐标是　 　．
14．（2025·潮南模拟）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，，则　 　．
15．（2025·潮南模拟）如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是　 　．
16．（2025·潮南模拟）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025·潮南模拟）为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下：
九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）；
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46．
九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
九（1） 82 51.8
九（2） 82 84 85
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由．
18．（2025·潮南模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）．
（1）求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
（3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
19．（2025·潮南模拟）如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分．
（1）用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，．
（2）求证：四边形是菱形；
20．（2025·潮南模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
21．（2025·潮南模拟）综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）问长方形的长应为多少？
22．（2025·潮南模拟）综合探究
素材：一张矩形纸片．
操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
（1）如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
（2）如图2，当落在对角线上时，求的长；
（3）连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．
23．（2025·潮南模拟）综合运用
如图1，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，，点P在线段上，点Q在线段上，四边形为正方形（与A在的异侧），正方形与重叠部分的面积为S．
（1）求直线的函数关系式；
（2）当正方形的边恰好落在上时，求边长的长度；
（3）设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：如果收入20元记作元，那么支出10元记作元．
故答案为：C．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，即看到的图形如下；
故选：C．
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据题意，从左面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列下面各有一个小正方形，据此可得答案．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将136000用科学记数法表示为，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；同位角的概念；内错角的概念
【解析】【解答】解：观察图形可得：
A、，
∴此选项符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】A、根据对顶角相等可判断求解；
B、根据邻补角互补可判断求解；
C、根据两直线平行同位角可判断求解；
D、根据两直线平行内错角可判断求解．
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质“、”化简并结合各选项即可求解．
6．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同，
则考生选择考篮球的概率为，
故答案为：C．
【分析】由题意可知，考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同，然后根据概率公式计算即可求解．
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故答案为：B．
【分析】设人数为x人，物价为y钱，利用“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，列关于x，y的二元一次方程组即可．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后由角的和差计算可求解．
10．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
又∵菱形ABCD的面积为=，
∴
∴矩形的面积=．
故答案为：A．
【分析】由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，，由菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，结合题意可得、都是的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，然后由矩形面积即可求解．
11．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1
【分析】根据分式的减法即可求出答案.
12．【答案】，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或，
，．
故答案为：，
【分析】由题意，方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入y=3x-4得，y=0-4=-4，
∴ 函数的图象与y轴的交点坐标 为（0，-4）.
故答案为：（0，-4）.
【分析】根据直线与y轴相交的点的坐标特征“横坐标=0”可求解.
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵直角中，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】
根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再根据所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵以为斜边构造等腰直角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴点在直线上，
当时，取得最小值，
∵点D的坐标是，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFCE是矩形，结合题意，用角角边可证△ACE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等可得CE=CF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形是正方形，由正方形的对角线平分每一组对角可得，于是可得点在直线上，当时，取得最小值，然后根据锐角三角函数sin∠DOC=计算即可求解．
16．【答案】（1）解：
=-3；
（2）解：，
将①代入②中得，，
解得，
把代入①得，①，
∴方程组的解为．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解；；
（2）观察方程组，将方程①代入方程②可得关于y的一元一次方程，解之求出y的值，再把y的值代入方程①求出x的值，然后写出结论即可．
（1）解：；
（2）解：，
将①代入②中得，，
解得，
把代入①得，①，
∴方程组的解为．
17．【答案】（1）83；85；
（2）解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得：，
，
前名同学的成绩的方差，
．
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数”求出a的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”求出b的值；根据方差的定义“一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差”可求得c的值；
（2）根据在平均数、众数相同的情况下，中位数更高，情况更好可判断求解．
（1）解：由题意得：，
，
前名同学的成绩的方差，
．
（2）解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．
18．【答案】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，
列方程得
．
（2）解：依题意，得：
，
整理，得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元；
（3）解：依题意，得：
，
整理，得：．
∵，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出，化简即可求解；
（2）依据“利润（售价进价）销售量”，代入售价、进价30，量，列出方程，解方程，据售价元的范围，舍去不合题意的解，确定售价；
（3）由“利润（售价进价） 销售量润”列方程，整理成一般形式，计算判别式的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解．
（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得
．
（2）解：依题意，得：
，
整理，得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元
（3）解：依题意，得：
，
整理，得：．
∵，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
19．【答案】（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）证明：由折叠的性质得：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）利用尺规作图作的线段垂直平分线，与，，分别交于点，并连接，即可求解；
（2）先根据折叠的性质可得，，，由题意，用角边角可证，根据全等三角形的对应边相等可得，则，然后根据菱形的判定“四边都相等的四边形是菱形”即可求证．
（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）证明：由折叠的性质得：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．【答案】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；
如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；
，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出n的值，然后用待定系数法可求得直线解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后根据三角形面积的构成可求解；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可求解．
21．【答案】（1）解：∵周角的度数为360度，
∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是；
（2）解：作的平分线，与的交点就是1的位置；
（3）解：∵，
∴，
∴长方形的长为厘米．
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；钟面角；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据钟面角12个数字平分一个周角计算即可求解；
（2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置；
（3）根据锐角三角函数tan∠AOC=即可求解．
22．【答案】（1）解：连接，
由折叠得：，垂直平分.
∵在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形.
∴，
∵，
∴.
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3.
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，
中，，
由折叠得：，，，
设，则，，
根据勾股定理得，，
则
解得
∴线段长度最小时的长为3.
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 由等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质得到即可求解；
（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等可得，然后根据锐角三角函数即可求解；
（3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理求得AC的值，由折叠得：，，，设，则，，在Rt△ECD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）解：当时，，
∴交点A的坐标为．
设直线的表达式为：
直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的表达式为：

（2）解∶∵点A的坐标为，
∴的高，
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
，
∴即
解得．
答：当正方形的边恰好落在上时，的边长为；
（3）分三种情况：当落在恰好落在OB时， 如图
点P在直线上，点P的横坐标为m，
得，解得，即．
∴，；
②当落在三角形外部时，如图，
．
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
∴，
点P在直线上，点P纵坐标为，代入直线，
．
即．
∴
③当MN落在三角形内时，如图，
同理可得，
，
综合上述情况可得，S关于m的函数关系式是.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据点A在直线y=x上可求出交点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数关系式；
（2）由点A的坐标为，可得的高．根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得关于PQ的方程，解方程可求解；
（3）由题意分三种情况：①当落在恰好落在OB时；②当落在三角形外部时，根据相似三角形的性质可求解；③当MN落在三角形内时，根据正方形的面积等于边长的平方可求解．
（1）解：当时，，
∴交点A的坐标为．
设直线的表达式为：
直线过点、点，
∴，解得，
∴直线的表达式为：
（2）解∶∵点A的坐标为，
∴的高，
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
，
∴即
解得．
答：当正方形的边恰好落在上时，的边长为；
（3）分三种情况：
当落在恰好落在OB时， 如图
点P在直线上，点P的横坐标为m，
得，解得，即．
∴，；
②当落在三角形外部时，如图，
．
∵，四边形为正方形（与A在的异侧），
，．
∴，
点P在直线上，点P纵坐标为，代入直线，
．
即．
∴
③当MN落在三角形内时，如图，
同理可得，
，
综合上述情况，S关于m的函数关系式是
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