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广东省深圳市南实教育集团2025年中考一模数学试题
1．（2025·深圳模拟）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃）
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
2．（2025·深圳模拟）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（　　）
A． B． C． D．6m
5．（2025·深圳模拟）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·深圳模拟）下列命题中，错误的是（　　）
A．顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．反比例函数的图象是轴对称图形
C．线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且
D．对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根
7．（2025·深圳模拟）如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·深圳模拟）已知，，则　 　．
10．（2025·深圳模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是　 　平方步．
11．（2025·深圳模拟）一元二次方程的两个根分别为．若，则　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则　 　°．
13．（2025·深圳模拟）如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为　 　．
14．（2025·深圳模拟）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
15．（2025·深圳模拟）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
16．（2025·深圳模拟）如图，四边形中，为对角线，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点分别在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
17．（2025·深圳模拟）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
18．（2025·深圳模拟）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（2025·深圳模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
20．（2025·深圳模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的圆心角为：，
故答案为：D．
【分析】扇形面积占整个圆形的，根据圆心角等于百分比×计算即可求解．
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据坡度的定义“坡度=铅直高度：水平距离”可得，将BC的值代入计算即可求解．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：，
由题意得：，，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由线段的和差CP=BC+PB求出CP的值，再根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合比例式即可求解．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解．
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A． 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，命题正确，
∴此选项不符合题意；
B． 反比例函数的图象是轴对称图形 ，
∴命题正确，
∴此选项不符合题意；
C． 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，，
∴命题错误，
∴此选项符合题意；
D． 对于任意的实数b，方程的，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴命题正确，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据菱形的性质和矩形的判定定理可得顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形；
B、根据反比例函数图象特征可判断求解；
C、根据黄金分割的概念可得AC的一元二次方程，解方程即可求解；
D、先求得b2-4ac的值，根据偶次方的非负性可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图过点作于点，过点C作于点，
当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
由题意得，，，，
在中，由勾股定理得，，
，
．
故答案为：A．
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，在Rt△ABQ中，用勾股定理求得的值．然后用等面积法可得关于CG的方程，解方程即可求解．
8．【答案】B
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设直线与轴的交点为点，则，
轴，点是线段的中点，且，
，
点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，
，，
，
面积为，
则当面积取得最小值时，应最小，
由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，
，
∴，
又，，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，于是可得点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，然后用锐角三角函数sin∠EAO=sin∠DAM=即可求解．
9．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】先将所求代数式通分，然后整体代换计算即可求解．
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（平方步）；
故答案为：．
【分析】根据扇形面积计算公式“S=rl”计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
所以 ．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系"若是一元二次方程的两根时，"可得关于k的方程，解方程即可求解．
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；求特殊角的三角函数值；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
点分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，，
，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得，结合锐角三角函数可得，然后由特殊角的三角函数值可求解．
13．【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
将线段绕点逆时针旋转到，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，
，
，
是定值，
若是直角三角形，分两种情况：
当时，
，
则，
；
当时，
，
则，
；
故答案为：或．
【分析】根据菱形的性质得到，得出是等边三角形，得到，，求出，，根据旋转的性质得到，结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，由角的和差可得是定值，若是直角三角形，结合已知可分两种情况：当时；当时，可求解.
14．【答案】解：（1）第②步运用了完全平方公式，
故答案为：B
（2）由已知可得，则，
∴，即，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】（1）根据阅读理解中的解题步骤即可求解；
（2）由题意得，推出，根据即可求解.
15．【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
16．【答案】（1）解：∵四边形中，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，作的垂直平分线，分别交于点，
四边形就是所求作的菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，作的垂直平分线，分别交于点，即可画出菱形．
（1）解：∵四边形中，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，做的垂直平分线，分别交于点，
四边形就是所求作的菱形．
17．【答案】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克利润×销售量”列一元二次方程解答即可；
（3）设利润为w，列w关于x的函数表达式，然后配方为顶点式，利用自变量的取值范围解答即可．
18．【答案】（1）证明：连接，由切线的性质得到，
由等腰三角形的性质得，
根据得，
即，
，
，
，
由等腰三角形角平分线性质得；
（2）解：，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，由等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”可得，根据得，由等腰三角形的三线合一可求解；
（2）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由锐角三角函数sin∠C==可设，，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△COF∽△CBD，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求出OF的值，再根据线段的和差EF=OF-OE即可求解．
（1）证明：连接，由切线的性质得到，
由等腰三角形的性质得，
根据得，即，，
，
，
由等腰三角形角平分线性质得；
（2）解：，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
20．【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
1 / 1广东省深圳市南实教育集团2025年中考一模数学试题
1．（2025·深圳模拟）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃）
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气．
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
2．（2025·深圳模拟）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的圆心角为：，
故答案为：D．
【分析】扇形面积占整个圆形的，根据圆心角等于百分比×计算即可求解．
3．（2025·深圳模拟）河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据坡度的定义“坡度=铅直高度：水平距离”可得，将BC的值代入计算即可求解．
4．（2025·深圳模拟）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（　　）
A． B． C． D．6m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：，
由题意得：，，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由线段的和差CP=BC+PB求出CP的值，再根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合比例式即可求解．
5．（2025·深圳模拟）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解．
6．（2025·深圳模拟）下列命题中，错误的是（　　）
A．顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．反比例函数的图象是轴对称图形
C．线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且
D．对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A． 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，命题正确，
∴此选项不符合题意；
B． 反比例函数的图象是轴对称图形 ，
∴命题正确，
∴此选项不符合题意；
C． 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，，
∴命题错误，
∴此选项符合题意；
D． 对于任意的实数b，方程的，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴命题正确，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据菱形的性质和矩形的判定定理可得顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形；
B、根据反比例函数图象特征可判断求解；
C、根据黄金分割的概念可得AC的一元二次方程，解方程即可求解；
D、先求得b2-4ac的值，根据偶次方的非负性可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
7．（2025·深圳模拟）如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图过点作于点，过点C作于点，
当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
由题意得，，，，
在中，由勾股定理得，，
，
．
故答案为：A．
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，在Rt△ABQ中，用勾股定理求得的值．然后用等面积法可得关于CG的方程，解方程即可求解．
8．（2025·深圳模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，设直线与轴的交点为点，则，
轴，点是线段的中点，且，
，
点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，
，，
，
面积为，
则当面积取得最小值时，应最小，
由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，
，
∴，
又，，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，于是可得点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，然后用锐角三角函数sin∠EAO=sin∠DAM=即可求解．
9．（2025·深圳模拟）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】先将所求代数式通分，然后整体代换计算即可求解．
10．（2025·深圳模拟）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是　 　平方步．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
（平方步）；
故答案为：．
【分析】根据扇形面积计算公式“S=rl”计算即可求解．
11．（2025·深圳模拟）一元二次方程的两个根分别为．若，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
所以 ．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系"若是一元二次方程的两根时，"可得关于k的方程，解方程即可求解．
12．（2025·深圳模拟）如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则　 　°．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；求特殊角的三角函数值；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
点分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，，
，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得，结合锐角三角函数可得，然后由特殊角的三角函数值可求解．
13．（2025·深圳模拟）如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在菱形中，，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
将线段绕点逆时针旋转到，
，
，
，
在△ABE和△ADF中
，
，
，
是定值，
若是直角三角形，分两种情况：
当时，
，
则，
；
当时，
，
则，
；
故答案为：或．
【分析】根据菱形的性质得到，得出是等边三角形，得到，，求出，，根据旋转的性质得到，结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，由角的和差可得是定值，若是直角三角形，结合已知可分两种情况：当时；当时，可求解.
14．（2025·深圳模拟）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
【答案】解：（1）第②步运用了完全平方公式，
故答案为：B
（2）由已知可得，则，
∴，即，
∵，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】（1）根据阅读理解中的解题步骤即可求解；
（2）由题意得，推出，根据即可求解.
15．（2025·深圳模拟）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称甲款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称乙款)．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：)，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）简称丙款推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】（1）、、
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）解：由题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
【分析】
（1）根据中位数的定义“中位数是将一组数据按大小顺序排列后，当数据个数为奇数时，中位数就是中间的数据；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数.”可求得的值；根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求得的值；根据各小组的百分比之和等于1可求得m的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知“共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种”，然后由概率公式计算即可求解．
（1）解：甲款评分数据中满意的数据中出现的次数最多，
众数，
乙款软件、组人数和为%%人，
乙款软件的中位数为第、个数据的平均数，而这个数据分别为、，
中位数，
乙款软件评分在组人数所占百分比为%%，即，
故答案为：、、；
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为名；
（3）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，
所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
16．（2025·深圳模拟）如图，四边形中，为对角线，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点分别在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】（1）解：∵四边形中，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，作的垂直平分线，分别交于点，
四边形就是所求作的菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，作的垂直平分线，分别交于点，即可画出菱形．
（1）解：∵四边形中，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，做的垂直平分线，分别交于点，
四边形就是所求作的菱形．
17．（2025·深圳模拟）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克利润×销售量”列一元二次方程解答即可；
（3）设利润为w，列w关于x的函数表达式，然后配方为顶点式，利用自变量的取值范围解答即可．
18．（2025·深圳模拟）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，由切线的性质得到，
由等腰三角形的性质得，
根据得，
即，
，
，
，
由等腰三角形角平分线性质得；
（2）解：，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，由等腰三角形的性质“等腰三角形的两底角相等”可得，根据得，由等腰三角形的三线合一可求解；
（2）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由锐角三角函数sin∠C==可设，，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△COF∽△CBD，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求出OF的值，再根据线段的和差EF=OF-OE即可求解．
（1）证明：连接，由切线的性质得到，
由等腰三角形的性质得，
根据得，即，，
，
，
由等腰三角形角平分线性质得；
（2）解：，，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
．
19．（2025·深圳模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
20．（2025·深圳模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
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