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湖南省长沙市长沙大学附属中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．平面向量，若，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
4．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．满足集合，且，则集合（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，给出下列命题，不正确的是（ ）．
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．的最小正周期为，且在上为增函数
11．已知抛物线的焦点坐标为为上两点，，则（ ）
A．
B．
C．若线段的中点的坐标为，则
D．当时，若在轴上方，则抛物线上存在三个不同的点，使得
三、填空题
12．已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角.
13．已知函数，在上恰有一个最大值和一个最小值，则的最小值为 .
14．设,对任意的实数,关于的方程共有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；
（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
16．如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N.
(1)设，，试用，表示；
(2)若，，H是线段上的一动点，求的最大值.
17．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.
18．已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数,使得成立.
(1)判断幂函数是否属于集合？并说明理由；
(2)设,,
i)当时,若,求的取值范围；
ii)若对任意的,都有,求的取值范围
19．如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.

(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.
参考答案
1．C
【详解】由题意，，，则.
故选：C.
2．D
【详解】由正弦定理可得,
由于,，所以或,
故选：D
3．B
【详解】因为，，
所以，解得，
所以，
因此.
故选：B．
4．D
【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
则设，
则
所以
所以当时, 取得最小值为.
故选：D.
5．B
【详解】解：由题得圆台的高为，
设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为，
当圆台的两个底面在球心异侧时，，
所以，
解得，；
当圆台的两个底面在球心同侧时，，
，
解得，，
此时，不合题意，舍去，
故球的体积，
故选：B．
6．D
【详解】
故选：D
7．D
【详解】由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为，高为，故，
得,则
所以圆锥的体积为.
故选：D.
8．C
【详解】方程有5个不等的实根，
，一共5个不等实根，作出函数图象：
其中
其中有两个不等实根，所以有三个不等实根，
所以，
.
故选：C
9．AC
【详解】因为，所以，，，
又，
所以或.
故选：AC.
10．ABD
【详解】因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确．
故选：ABD.
11．ACD
【详解】由已知可得拋物线，设直线，且，
联立方程组，整理得，
则，且，
对于：，
所以，故A正确；
对于：由，故B错误；
对于：当时，到准线的距离为，则两点到准线的距离之和为3，
由抛物线的定义得：，即，
又，可得，故C正确；
对于：时，，
所以，即，又，在轴上方，
所以中点，
与直线平行的直线与抛物线相切时切点，
此时，所以轴上方有一个点满足要求，
又因为轴下方有两个点满足要求，所以有三个点满足要求，故D正确.
故选：.
12．二
【详解】，是第二象限角.
故答案为：二
13．
【详解】结合函数图象分析
，故得.
故答案为：.
14．
【详解】,
(1)当时,即，
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
且,
关于的方程总有三个不相等的实数根,
只要对恒成立,解得；
(2)当时,即,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
且,
关于的方程总有三个不相等的实数根,
只要对恒成立,
①当时,成立,此时
②当时,恒成立,此时
③当时,恒成立,此时
综合①②③得
由(1)(2)可知
故答案为：
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.
解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得
，
解得.
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为
，
由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
.
(Ⅲ) 前6组的频率之和为 ，
而前5组的频率之和为 ，
由 ，解得，
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.
16．(1)
(2)
【详解】（1）取AC的中点O，连OE，OF则，
因为，
所以.
（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为：，
设，
则，，
所以，
当时等号成立.
17．(1)
(2)
【详解】（1）根据余弦定理可知，，
所以，即，
则,，所以；
（2）设，
根据正弦定理可知，
所以,，
所以周长
,
因为,，
所以，所以，
所以的周长为.
18．(1) (2)
【详解】（1）根据题意列式，即解出自变量的值，属于集合A；（2）i)当时，，转化为 在上有解；ii)由 i)知：对任意，在上有解，则则可转化为在上有解，即可解决．
解析：
（1），理由如下：
令，则
，即，
解得：，均满足定义域．
当时，
（2）i)当时，
∵，∴，
由题知：在上有解
∴
∴（），令，则
∴即
∴，
从而，原问题等价于或
∴或又在上恒成立
∴，∴
ii)由 i)知：对任意，在上有解
∴，即
（），令，则
则在上有解
令，，则
，即
由可得：，令，则
，∴，∴．
19．(1)
(2)6.
【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为.

（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

因为圆台上下底面半径的关系为，
所以，，
又∵，
∴，
∴，
设，则的弧长，
解得，
连接，为等边三角形，
∴
所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，
所以蚂蚁爬行的最短距离为6.

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