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江苏省泰州市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题
一、单选题
1．可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的取值如下表所示，若与有线性相关关系且与之对应的线性回归方程为，则的值为（ ）
1 3 5 7
5.8 6.2 6.6
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机事件、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（ ）
A．36种 B．50种 C．56种 D．120种
二、多选题
9．设随机变量，则（ ）
（若随机变量，则）
A． B．
C． D．
10．已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（ ）
A．四点共面 B．直线与直线是异面直线
C．点坐标为 D．点坐标为
11．已知，在集合中等可能的任取两个不同的点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若向量与垂直，则实数的值为 ．
13．已知，且，则满足条件的有序数组共有 个．
14．一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则 ， ．
四、解答题
15．某中学对50名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示．
主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18
学习兴趣一般 19
合计 24 50
(1)补全该表；
(2)试运用独立性检验的思想方法判断：是否有以上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关．
附：独立性检验临界值表
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）．
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，其规则为：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两人同时出示各自手势一次记为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同为平局，假定甲、乙双方在猜拳游戏过程中，出示三种手势是等可能的．
(1)已知甲、乙两人进行了3次游戏，求第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率；
(2)甲、乙两人进行了13次游戏，记甲获得次胜利的概率为，当为何值时，取得最大值？
18．在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），．
(1)已知．
（i）求；
（ii）求直线与所成角的大小．
(2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值．
19．某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．
(1)当时，求的值；
(2)在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；
(3)证明：．
参考答案
1．D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2．C
【详解】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3，
所以，
因此.
故选：C.
3．A
【详解】如下图所示：
因为平面，是棱上任意一点，
所以在平面上的投影向量为.
故选：A.
4．C
【详解】根据表中数据，，，
因为线性回归方程一定过，
所以，
解得.
故选：C.
5．D
6．C
【详解】因为，，，所以，
由条件概率公式可得，
因此.
故选：C.
7．B
【详解】因为是的重心，所以，
将代入得，
因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得，
且，同时与共线，
设（为实数），则，
因此，，，又因为，即，解得，
故，即.
故选：B.
8．B
【详解】甲只能参加环保志愿服务，剩余四人（乙、丙、丁、戊）每人有3种选择（环保、宣传、敬老），总共有种，
若是宣传无人，四人只能选择环保或敬老，每人两种选择，共：种，
若是敬老无人，四人只能选择环保或宣传，每人两种选择，共：种，
若是宣传和敬老同时无人，四人都只能选择环保，仅1种，
因此符合条件的分配方式为：种.
故选：B.
9．AD
【详解】选项A，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，由正态分布的对称性，，，所以，选项A正确；
选项B，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，可得，故，选项B错误；
选项C，根据正态分布的对称性，，，所以，选项C错误；
选项D，由知，由知，因此，选项D正确.
故选：AD.
10．BCD
【详解】选项A，，
，，
设平面的法向量，则，
解得，，为不为的实数，
不妨取，因为，
所以四点不共面，选项A错误；
选项B，直线的方向向量，
直线的方向向量，
假设直线与直线共面，则存在实数，使得，
即，此方程无解，
所以直线与直线是异面直线，选项B正确；
选项C，因为在直线上，设，，，
则点坐标为，又有，
则，
因为在直线上，设，，，
则点坐标为，则，
因为和共线，则，解得，
此时点坐标为，选项C正确；
选项D，，解得，，
此时点坐标为，选项D正确；
故选：BCD.
11．ACD
【详解】由，
所以集合中含有12个点，如下：，，
这12个点围成的空间几何体是两个棱长均为1的正方体围成，如图所示，
记，则的可能取值为，
对于A，，，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，又，，
，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】向量与垂直，
所以，解得.
故答案为：
13．
【详解】由于，
所以或，
又由于，
所以的值两个为，一个为，
其中为，则一个为一个为，故有种，
另外为，则都为或都为，共有种，
所以满足条件的有序数组共有种.
故答案为：
14．
【详解】根据题意，随机变量服从超几何分布，
，，
，，
，，
X的概率分布如下表所示，
X 0 1 2 3 4 5
P
由表可知，随机变量X的均值为
；
.
故答案为：；
15．(1)答案见解析
(2)有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关
【详解】（1）
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（2），
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
令可得
.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
由题意可知，为的展开式中的系数，故.
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得，在1次游戏中，玩家甲胜玩家乙的概率为，
且每次之间相互独立，设甲、乙两人进行了3次游戏中玩家甲获胜的次数为，
则，
所以第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率.
（2）解：由题意知，甲、乙两人进行了13次游戏中，
玩家甲获胜的概率为，
则，
当时，即时，解得，
所以，当且时，；
当且时，，
所以当时，取得最大值.
18．(1)（i）（ii）；
(2)
【详解】（1）由平面，、平面，故，，
又，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
设，且，则、，
由，则，即；
（i）由，则，又，故，
即，则，故；
（ii），，
则，
即，则直线与所成角的大小为；
（2），，
设，，
则，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
即可为，
由平面，故，
即，
化简得，由，则，
故，
由平面，故为平面的法向量，
则
令，则，
，
由，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，设为，
故，即二面角余弦的最小值为.
19．(1)
(2)分布列答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.

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