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统测模拟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，其中为虚数单位，则
A． B． C． D．2
2.从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是，最小值为1 B．的最小正周期是，最小值为
C．的最小正周期是，最小值为1 D．的最小正周期是，最小值为
4．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5.已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正方体的棱长为，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9．某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ）
A．成绩的第60百分位数为122 B．成绩的极差为36
C．成绩的平均数为125 D．若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
10．已知，，且则（ ）
A． B．
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为
B．
C．若方程有6个不等实数根，则
D．对任意正实数，且，若，则
三、填空题
12．若的展开式中第三项与第五项的二项式系数相等，则该展开式中含的系数为 .
13．已知数列满足，，则的前8项和为 .
14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将绕点O逆时针旋转角，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至，使得两三角形所在平面的距离为，连接，，，，，，得到八面体，则该八面体体积的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设面积的大小为S，且.
(1)求A的值；
(2)若的外接圆直径为1，求的取值范围.
16、如图，四棱锥中，底面是矩形，平面平面，且是边长为的等边三角形，，点是的中点.
(1)求证：面BDM.
(2)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；
17、随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
18、已知抛物线：，斜率为1的直线与抛物线交于两个不同的点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，交于点M.
(1)求点M的横坐标；
(2)连接FA，FB，FM，记面积为，面积为，记面积为，求的最小值.
19．设是定义域为且图象连续不断的函数，若存在区间和，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“山峰函数”，为“峰点”，称为的一个“峰值区间”．
(1)判断是否是“山峰函数”？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；
(2)已知是山峰函数，且是它的一个峰值区间，求的取值范围；
(3)设，函数．设函数是山峰函数，是它的一个峰值区间，并记的最大值为．若，且，，求的最小值．（参考数据：）
试卷第1页，共3页

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