2.1.2 椭圆的简单几何性质 教学课件(共30页PPT)高二数学北师大(2019)选择性必修第一册

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2.1.2 椭圆的简单几何性质 教学课件(共30页PPT)高二数学北师大(2019)选择性必修第一册

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(共30张PPT)
2.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质,体现逻辑推理能力(重点)
2.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴和离心率的概念,理解椭圆的范围和对称性,体现逻辑推理能力(重点)
3.利用椭圆的知识解决简单的实际问题,体现数学运算能力(难点)
新课导入
我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程,接下来,与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
思考一下:由椭圆C的标准方程和图形可以获得椭圆的哪些简单的几何性质呢?
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思考一下:椭圆C: 的范围是什么?
由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x,y)总满足

-a≤x≤a,-b≤y≤b
这说明椭圆C位于四条直线:x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形区域内.
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思考一下:我们前面学习了椭圆的对称性,如何用椭圆方程的代数法来验证?
根据椭圆方程的结构特点,可以发现:
若(x0,y0)是椭圆方程的一组解,即 ,则(x0,-y0),(-x0,y0),(-x0,-y0)也是方程的解,
这说明:若点P(x0,y0)在椭圆上,则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x0,-y0),P2(-x0,y0),P3(-x0,-y0)也在椭圆上.
这说明椭圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形,也是关于原点的中心对称图形.这个中心称为椭圆的中心.
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思考一下:椭圆与坐标轴交点的坐标是什么?
如图,在椭圆C的标准方程①中,当x=0,y=±b.这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点.
同理,当y=0时,x=±a,即A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆C与x轴的两个交点.
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点.这四个交点叫作椭圆的顶点.
椭圆 的四个顶点分别为:
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
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思考一下:椭圆与坐标轴交点的坐标是什么?
线段A1A2,B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴,且
|A1A2|=2a, |B1B2|=2b
a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.它反映了a,b的几何意义.
由于b2=a2-c2,a,b,c就是图中Rt△OB2F2的三边长,它们从另一个角度反映了参数a,b,c的几何意义.
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思考一下:什么数据反映了椭圆的扁平程度?
我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即
显然0如图(1),e越接近于l,椭圆就越扁.反之,如图(2),e越接近于0,椭圆就越接近于圆.当a=b时,椭圆的方程为x2+y2=a2.这时c=0,两个焦点重合,图形变为圆.
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例1: 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
已知方程化为椭圆的标准方程
则a=5,b=3,
c=
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10,2b=6
离心率是
两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0)
椭圆的四个顶点分别是A1(-5,0),A2(-5,0),B1(0,-3),B2(0,3)
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例2: 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
将方程变形为 ,由 ,在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y),如下表(y的值精确到0.1).
x 0 1 2 3 4 5
y 30 29 27 24 18 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图).
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例3:分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为 ;
由已知2a=12,
,得a=6,c=4
从而
b2=a2-c2=20
所以椭圆的标准方程为
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(2)经过点P(-6,0)和Q(0,8).
由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有
a=8,b=6
又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为
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例4:2022年10月31日15时37分,搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭,在我国文昌航天发射场准时发射,约8min后,梦天实验舱与火箭成功分离并准确进入预定椭圆轨道,该轨道的近地点(离地面最近的点)高度约为388 km,远地点(离地面最远的点)高度约为398 km,求该椭圆轨道的标准方程.(注:将地球看作一个球,其半径约为6 371 km,地球中心位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点、远地点与地球中心共线)
如图,设地心为椭圆轨道右焦点F2,近地点、远地点分别为A2,A1,以直线A1A2为x轴,线段A1A2的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则F2,A1,A2三点都在x轴上,
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|F2A2|=a-c=388+6371
|F2A1|=a+c=398+6371
所以
a=6764,c=5
从而
b2=a2-c2=67642-52=45751671
所以椭圆轨道的标准方程为
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例5:如图,点P是圆O:x2+y2=4上的动点,作PH⊥x轴于点H,求线段PH的中点M的轨迹方程,并指出该轨迹是什么图形.
设点M的坐标为(x,y) ,则点P的坐标为(x,2y).
因为点P在圆O上,所以x2+(2y)2=1,即
所以点M的轨迹是长轴长为4,短轴长为2,焦点在x轴上的椭圆.
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拓展:相关点代入法求轨迹方程的一般步骤:
(1)建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(x0,y0);
(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系,用x,y表示x0,y0;
(3)将x0,y0代入其所在的曲线方程;
(4)化简方程得所求方程.
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总结一下
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总结一下
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拓展:解决和椭圆有关的实际问题的思路:
1.通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题;
2.确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解;
3.用解得的结果说明原来的实际问题.
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A
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B
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D
课堂巩固
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B
课堂巩固
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课堂总结
椭圆的性质:
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率
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