资源简介

(共30张PPT)
2.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，体现逻辑推理能力（重点）
2.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴和离心率的概念,理解椭圆的范围和对称性，体现逻辑推理能力（重点）
3.利用椭圆的知识解决简单的实际问题，体现数学运算能力（难点）
新课导入
我们利用椭圆的定义及图象认识了椭圆并且得到椭圆的标准方程，接下来，与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们也可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
思考一下：由椭圆C的标准方程和图形可以获得椭圆的哪些简单的几何性质呢？
新课学习
思考一下：椭圆C： 的范围是什么？
由方程①可得椭圆C上的任意一点P(x,y)总满足
即
-a≤x≤a,-b≤y≤b
这说明椭圆C位于四条直线：x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形区域内．
新课学习
思考一下：我们前面学习了椭圆的对称性，如何用椭圆方程的代数法来验证？
根据椭圆方程的结构特点，可以发现：
若(x0,y0)是椭圆方程的一组解，即 ，则(x0,-y0)，(-x0,y0)，(-x0,-y0)也是方程的解,
这说明：若点P(x0,y0)在椭圆上，则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点P1(x0,-y0)，P2(-x0,y0)，P3(-x0,-y0)也在椭圆上．
这说明椭圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形．这个中心称为椭圆的中心．
新课学习
思考一下：椭圆与坐标轴交点的坐标是什么？
如图，在椭圆C的标准方程①中，当x=0，y=±b．这说明B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆C与y轴的两个交点．
同理，当y=0时，x=±a，即A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆C与x轴的两个交点．
因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点．这四个交点叫作椭圆的顶点.
椭圆 的四个顶点分别为：
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
新课学习
思考一下：椭圆与坐标轴交点的坐标是什么？
线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，且
|A1A2|=2a, |B1B2|=2b
a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．它反映了a，b的几何意义.
由于b2=a2-c2，a，b，c就是图中Rt△OB2F2的三边长，它们从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义.
新课学习
思考一下：什么数据反映了椭圆的扁平程度？
我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即
显然0如图(1)，e越接近于l，椭圆就越扁．反之，如图(2)，e越接近于0，椭圆就越接近于圆．当a=b时，椭圆的方程为x2+y2=a2．这时c=0，两个焦点重合，图形变为圆．
新课学习
例1: 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
已知方程化为椭圆的标准方程
则a=5,b=3,
c=
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10,2b=6
离心率是
两个焦点分别是F1(-4,0)，F2(4,0)
椭圆的四个顶点分别是A1(-5,0),A2(-5,0),B1(0,-3),B2(0,3)
新课学习
例2: 求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
将方程变形为 ，由 ，在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y)，如下表(y的值精确到0.1)．
x 0 1 2 3 4 5
y 30 29 27 24 18 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形，再利用对称性画出整个椭圆(如图)．
新课学习
例3：分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为 ；
由已知2a=12,
,得a=6,c=4
从而
b2=a2-c2=20
所以椭圆的标准方程为
新课学习
（2）经过点P(-6,0)和Q(0,8)．
由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有
a=8,b=6
又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为
新课学习
例4：2022年10月31日15时37分，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场准时发射，约8min后,梦天实验舱与火箭成功分离并准确进入预定椭圆轨道，该轨道的近地点(离地面最近的点)高度约为388 km，远地点(离地面最远的点)高度约为398 km，求该椭圆轨道的标准方程.(注：将地球看作一个球，其半径约为6 371 km，地球中心位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地球中心共线)
如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上，
新课学习
|F2A2|=a-c=388+6371
|F2A1|=a+c=398+6371
所以
a=6764,c=5
从而
b2=a2-c2=67642-52=45751671
所以椭圆轨道的标准方程为
新课学习
例5:如图，点P是圆O：x2+y2=4上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形．
设点M的坐标为(x,y) ，则点P的坐标为(x,2y)．
因为点P在圆O上，所以x2+(2y)2=1，即
所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．
新课学习
拓展：相关点代入法求轨迹方程的一般步骤:
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x,y)，其相关动点的坐标为(x0,y0)；
(2)找出(x,y)与(x0,y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0；
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程；
(4)化简方程得所求方程．
新课学习
总结一下
新课学习
总结一下
新课学习
拓展：解决和椭圆有关的实际问题的思路：
1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题；
2.确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解；
3.用解得的结果说明原来的实际问题.
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
D
课堂巩固
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
课堂总结
椭圆的性质：
1.范围
2.对称性
3.顶点
4.离心率
THANK YOU

展开更多......

收起↑