资源简介

(共29张PPT)
1.2.3 直线与圆的位置关系
学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，体现逻辑推理能力（重点）
2.利用点到直线距离来判断直线与圆位置关系的过程，学会求弦长或圆的切线的方法，体现逻辑推理能力（重点）
3.理解并掌握直线与圆的位置关系，体现数形结合的思想（难点）
新课导入
思考一下：前面我们学习了直线与圆的位置关系，请同学们回忆一下直线与圆有几种位置关系？交点个数情况？如何定义这几种情况呢？
平面几何中，已经学习了直线与圆的三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离（如图）
相交
相切
相离
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思考一下：前面我们学习了直线与圆的位置关系，请同学们回忆一下直线与圆有几种位置关系？交点个数情况？
直线与圆相交
直线和圆有两个公共点
直线与圆相切
直线和圆只有一个公共点
直线与圆相离
直线和圆没有公共点
∟
∟
∟
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思考一下：在平面直角坐标系中，如何判断直线l与圆C的位置关系？
直线与圆的位置关系可以由圆心到直线的距离与半径的大小关系，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定.
1.几何法——由圆心到直线的距离与半径的大小关系
已知直线l:Ax+By+C=0(A，B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2，设圆心C(a,b)到直线的距离为d，则圆心到直线l的距离:
(A，B不全为0)
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当d当d=r时，直线l与圆C相切;
当d>r时，直线l与圆C相离.
2.代数法——根据它们的方程组成的方程组解的情况
由方程组
解的情况来判断直线l与圆C的位置关系：
（1）当Δ>0，有两组实数解，直线l与圆C相交；
（2）当Δ=0，有一组实数解（两组相同的实数解），直线l与圆C相切；
（3）当Δ<0，没有实数解，直线l与圆C相离.
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拓展：求过圆上一点P(x,y)的圆C的切线方程
当点P在圆C上，过点P有且只有圆C的一条切线，且点P为切点.
1.连接CP，求出CP的斜率；
2.由圆的切线的几何性质知直线CP与切线垂直，可得切线的斜率；
3.利用点斜式即的切线方程.
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拓展：求过圆外一点P(x,y)的圆C的切线方程
当点P在圆C外，过点P可作圆C的两条切线，可利用下列方程求切线方程：
方法一（几何法）：
设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，化为一般式为kx-y-kx0+y0=0，由圆C到切线的距离等于圆的半径得
解方程求k，即得切线方程.
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拓展：求过圆外一点P(x,y)的圆C的切线方程
方法二（代数法）:
设切线的方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，
代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ=0求出k的值，即得切线方程.
注意：过圆外一点的圆的切线必有两条，若求出k的值只有一个，则表明其中一条切线的斜率不存在，其方程为x=x0，不能遗漏.
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例1：已知直线l:2x+y-3=0,圆M：(x-a)2+y2=5.
(1)指出圆心M的位置特征；
(2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离.
(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点.
(2)根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为
当d< ，即-1当d= ，即a=-1或a=4时，直线l与圆M相切；
当d> ，即a＜-1或a>4时，直线l与圆M相离.
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例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法1：
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，代入圆C的方程，得(y-3)2=4，
此方程有两个不相等的实数根，即直线l与圆C相交，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，得到方程组
①
②
将②代入①消去y并整理，得(k2+1)x2-2(3k+1)x+5=0.③
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例3:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
由直线与圆相切可得方程③有两个相等的实数根，
△=4(3k+1)2-20(k2+1)=0
k=-2或
即
2k2+3k-2=0
解得
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= x.
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例4:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心C(1,3)到直线l的距离为1≠ ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
由相切条件可得
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= x.
课堂巩固
例5:已知直线m：3x+4y-2=0与圆P：x2+y2-2x-2y=0.
（1）写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
将圆的方程化为标准方程， 得(x-1)2+(y-1)2=2 ，即圆P是以点(1,1)为圆心， 为半径的圆 (如图).
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（2）由（1）所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截的的弦长；若相切或相离，给出证明.
因为圆心P到直线m的距离
所以直线m与圆P相交.
设交点为A，B， 圆P的半径为r (如图(2))， 易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长， 即
PA=PB=r=
底边AB上的高为圆心 P到直线m的距离 d.所以由勾股定理， 得
|AB|=
故直线m被圆P截得的弦长为2 .
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练一练：求直线y=-2x＋5被圆x2＋y2＝10截得的弦长AB的长．
方法一：x2＋y2＝10，其圆心坐标为(0,0)，半径r＝ .
点(0,0)到直线y=-2x＋5的距离为
所以截得的弦长为
方法二：设直线y=-2x＋5与圆x2＋y2＝10交于A、B两点．
由
①
②
得交点A(3,-1)，B(1,3)，
所以弦AB的长为|AB|＝
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
A
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课堂巩固
C
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课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
相切
课堂总结
直线与圆的位置关系判断方法：
1.几何法——由圆心到直线的距离与半径的大小关系；
2.代数法——根据它们的方程组成的方程组解的情况.
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