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期末核心考点 二元一次方程组
一、单选题
1．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”（斛：古量器名，容量单位）其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
2．二元一次方程3x﹣y=1的解的情况是（　　）
A．有且只有一个解 B．有无数个解
C．无解 D．有且只有两个解
3．已知二元一次方程2x＋3y＝4，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（　　）
A．x=-4，y=4 B．x=4，y=-4 C．x=3，y=-3 D．x=-3，y=3
4．数轴上A、B两点分别表示数a和b，满足3a+b=6-6t，a+2b=3t-3，且AB的长为kt-k，其中t＞1，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款共计68万元，每年需付出8.42万元利息，已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为（　　）
A．26万元，42万元 B．40万元，28万元
C．28万元，40万元 D．42万元，26万元
6．A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．对于代数式ax2﹣2bx﹣c，当x取﹣1时，代数式的值为2，当x取0时，代数式的值为1，当x取3时，代数式的值为2，则当x取2时，代数式的值是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为　 　．
10．已知m、n满足方程组则的值为　 　．
11．小明只带2元和5元两种人民币，他要买一件17元的商品，而商店没有零钱，那么他付款的方式共有　 　种．
12．某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元／千克，第二天降价为6元／千克，第三天再降为3元／千克.三天全部售完，共计所得270元，若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　 　千克.(用含t的代数式表示.)
13．已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 　 　．
14．甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物．多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买绣球共花费　 　元．
15．某销售商国庆节期间销售阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的数量之比，阿尔卑斯、大白兔、不二家三种糖果的单价之比为．十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度．预计三种糖果的营业额都会增加．其中阿尔卑斯种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，阿尔卑斯种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为，为使十一月份大白兔、不二家两种糖果的营业额之比为，则十一月份不二家糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为　 　．
16．春节来临之际，公司老总为了感谢职工这一年来的付出，他用一张1万元支票给公司几名保洁人员每人购买一件单价590元的A种节日礼盒，又给一线的十几名技术员工每人购买一件单价670元的B种节日礼盒，找回了几张100元和几张10元（10元的不超过9张）的钞票．事后公司老总再仔细算了一下，如把购买A种节日礼盒和B种节日礼盒的数量互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反．问该公司保洁人员与一线的技术员工的人数之比是　 　．
17．一个数位大于等于4的多位数，如果其末三位数与末三位数以前的数之差（大数减小数）能被13整除，则这个多位数一定能被13整除；则672906　 　（能或不能）被13整除．若一个五位数，其前两位数为，后三位数为（，且为整数）．现将五位数的后两位数放在最左边得到一个新的五位数，再交换百位上的数字与十位上的数字后得到，能被13整除，则满足条件的最大五位数与最小五位数的差为　 　．
三、解答题
18．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，求这个代数式的值
19．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如：，对调百位与十位上的数字得，对调百位与个位上的数字得，对调十位与个位上的数字得，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）填空：________，________；
（2）若的百位数字是，十位数字是，个位数字是，求的值；
（3）若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求的值．
20．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，__________米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是_______（请写出满足条件的n的值）．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
22．对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对．
（1）若，则 ， ；（用含m的式子表示）
（2）已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．为响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小军家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小军主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3
（1）求爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比；
（2）求爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比．
25．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵对应的方程组的解；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值．
答案解析
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x每取一个值，都能够得到位置数y的值，
∴方程有无数个解．
故选：B．
【分析】x任意取一个值，都能够求得一个y值，故此可判断出方程的解得个数．
3．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得：x=-y,
∴2x+3y=2x-3y=4,
∴y=-4,
∴x=4,
故答案为：A.
【分析】由互为相反数的性质可得x=-y, 将其代入方程2x+3y=4，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：联立
解得：，
∵ t＞1 ，
∴a＜b，
∴AB=3t-3-（3-3t）=6t-6= kt-k ，
解得：k=6，
故答案为：D.
【分析】联立解方程组得a、b的值，由已知可得AB=b-a= kt-k，据此即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，则有 ，解这个二元一次方程组得 ，所以该公司甲、乙两种贷款的数额分别为42万元与26万元．故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元与y万元，根据甲、乙两种贷款共计68万元和每年需付出8.42万元利息来列方程组，求出解可得答案.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将x=-1，x=0，x=3，分别代入代数式，
可得，计算得出a=b=-，c=-1，
代数式为-x2+x+1，
将x=2代入求出代数式，得-×4+×2+1=1.
故答案为：A.
【分析】将x值代入代数式，得出三元一次方程组，求出a、b、c的值，再将x=2代入代数式求解。
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴ 关于x，y的方程组的解满足
解得
故答案为：D.
【分析】由整体换元的思想可得，进而求解即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
10．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
11．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设元的人民币张，元的人民币张，
根据题意得：，
∵，都是正整数，
∴或，
则他的付款方式有种，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程的求解，设元的人民币张，元的人民币张，根据消费17元，列出方程，结合，都是正整数，求得方程的解，即可得到答案.
12．【答案】30-
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设三天依次销售香蕉的数量为x、y、z， 得x+y+z=50， 9x+6y+3z=270， 则9x+9y+9z=450，
9x+9y+9z-(9x+6y+3z)=450-270， 解得：， 把y=t代入得：
【分析】先根据题意列三元一次方程，求出第三天和第二天的销售量的关系式，把y=t代入即可求得第三天销售数量关于t的代数式。
13．【答案】①②③
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
14．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法；三元一次方程组的应用
15．【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用
16．【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用
17．【答案】能；8018
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
18．【答案】52
【知识点】三元一次方程组的应用；求代数式的值-直接代入求值
19．【答案】（1）9，8；
（2）
（3）或．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的加减运算；二元一次方程的解
20．【答案】解：（1）0.4；0.6
（2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：；
（3）52或65
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，
AF=AB-BF=AD÷2- AE =2÷2-0.4=0.6(米)；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有n-a块按方案二进行切割．
根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，
∴5a≤140，即a≤28，
丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则
解得：，（其中a≤28，，且a，n都是正整数）
∴n=52时，a=20；
n=65时，a=25；
综上：n的值是52或65．
【分析】
（1）观察方案一可得AE是AD的，丙的长AB是AD的，观察方案二可得乙和丙宽相等，即有BF＝AE；
（2）由等量关系“共有 26块大玻璃片且所购大玻璃片无剩余，恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户 ”即可列方程组并求解即可；
（3）先设有a块大玻璃片按方案一切割，则剩余（n-a）块玻璃按方案二切割，由于切割得到的乙型玻璃能与甲玻璃搭成若干扇窗户，则可以确定出a的范围，再由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，可列出关于a和n的二元一次方程，再求出整数解即可．
21．【答案】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得：
， 解得：，
答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．
（2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得：
， 即：，
因为两种型号的汽车均购买，
所以a、b均为正整数，
所以或或，
所以共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
（3）解：方案1可获利：（万元）
方案2可获利：（万元）
方案3可获利：（万元）
因为
所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，根据题中的两个相等关系“ 2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元”可列关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求解；
（2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，根据题中的相等关系"a辆A型号汽车的费用+b辆B型号汽车的费用=400"可列关于a、b的二元一次方程，根据a、b均为正整数可求解；
（3）分别计算（2）中的三种方案所得的利润，比较大小即可求解.
22．【答案】（1）3，
（2）解：存在，，理由如下：根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案；
（2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可．
（1）解：根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
（2）解：存在，，理由如下：
根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
23．【答案】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8-n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共8种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车3辆．
（3）解：方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×2+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 (1) 设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出方程组求解；
(2) 设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解；
(3) 根据（2），分别计算利润，得出最大利润的方案及并求出最大利润.
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】二元一次方程组的其他应用
25．【答案】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为，
解得，，
∴矩阵对应的方程组的解为；
（2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为，
∴将代入，得，
得，．
【知识点】二元一次方程组的解；列二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组、三元一次方程组和新定义运算。根据方程组和矩阵的形式变化，可写出矩阵 阵对应的方程组为， 用代入法或加减法求出解即可。当矩阵出现三行时，可类推为三元一次方程组，仔细观察，会发现a+b+c的值，恰好是把三个三元一次方程求和，而不用分别求出a，b，c的值。当然，如果没发现简便算法，也可以计算出a，b，c的值，再去求和。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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