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期末核心考点 实数
一、单选题
1． 可以表示（　　）
A．0.2的平方根 B．-0.2的算术平方根
C．0.2的负的平方根 D．-0.2的平方根
2．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．2 B． C．3.14159 D．
3． 的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
4．已知 =5，则x为（　　）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．以上都不对
5．已知，则（　　）
A．1 B． C．8 D．
6．若a＝﹣0.32，b＝(﹣3)﹣2，c＝(﹣ )﹣2，d＝(﹣ )0，则（　　）
A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
7．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
8．设表示最接近x的整数（，为整数），则（　　）
A．132 B．146 C．164 D．176
二、填空题
9．若表示数a的整数部分，例如，则　 　．
10．已知，则　 　．
11．比较大小：　 　．（填“>”，“=”或“<”）
12．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　 　
13．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：.这样只需要对82进行3次操作就可得到1.类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后就可得到2的所有正整数中，最大的正整数是　 　.
14．已知 和|8b﹣3|互为相反数，求 ﹣27的值为　 　．
15．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4， ，现对72进行如下操作：72→ =8→ → =1，类似地：
（ 1 ）对64只需进行　 　次操作后变为1；
（ 2 ）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　 　.
16．若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 　 　．
三、解答题
17．已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是
（1）求的值；
（2）求的平方根．
18．若，正数的两个平方根分别是和，求平方根．
19．正数x的两个平方根分别为3和2a+7．
（1）求a的值；
（2）求36-x的立方根．
20．已知正实数x的平方根分别为a和
（1）若，则的值为_________，x的值为__________；
（2）当时，求a；
（3）若，求x的值．
21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根.华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘.你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗 请按照下面的方法试一试.
（1）由 因为 ，所以可以确定 是　 　位数.
（2）由32768的个位上的数是8，可以确定、 的个位上的数是　 　，划去32768后面的三位数768得到32，因为 ，可以确定 的十位上的数是　 　.
（3）所以 　 　.
（4）仿照上述方法计算
22．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= 　 　；则　 　
③ 的3阶过剩近似值 是　 　，3阶不足近似值是　 　
23．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：=　 　；=　 　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值　 　．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　．
答案解析
1．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为： ，
为0.2的负的平方根
故答案为：C．
【分析】根据平方根的定义可得答案．
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14159是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，
的算术平方根是 .
故答案为：A.
【分析】 的算术平方根 =可得结果.
4．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =5，
∴x=±5，
故答案为：C．
【分析】一个数的平方的算数根等于它的绝对值，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数。
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
而，(y-2)2≥0，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据偶次方、绝对值和算术平方根的非负性可得关于x、y、z的方程，解方程求出x、y、z的值，然后把x、y、z的值代入所求代数式计算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a＝－0.32=-0.09，b＝(－3)－2= ，c＝ =9，d＝ =1，
∴a＜b＜d＜c.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂的性质，零指数幂的性质分别求出a、b、c、d的值，然后比较即可.
7．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
8．【答案】D
【知识点】无理数的估值
9．【答案】4
【知识点】无理数的估值
10．【答案】－2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-整体代入求值
11．【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：>．
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可。
12．【答案】9
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9．
故答案为：9．
【分析】由于4＜＜5，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解．
13．【答案】6560
【知识点】无理数的估值；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为即
∴最大的正整数为8.
∴此时第2次参与运算的最大数为即 ，
∴第1次的结果最大为80，
∴第1次参与运算的最大数为即
故答案为：6560
【分析】根据题意得到第3次参与运算的最大数为8，即 进而即可得到此时第2次参与运算的最大数为为80，即 ，从而即可得到第1次的结果最大为80，再结合题意根据有理数的乘方即可求解。
14．【答案】﹣
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：由题意可知： +|8b﹣3|=0，
∴1﹣3a=0，8b﹣3=0，
∴a= ，b= ，
∴原式= ﹣27=﹣
故答案为：﹣
【分析】根据相反数的概念以及非负性即可求出a与b的值．
15．【答案】3；255
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
64→ =8→ → =1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为：3；
（ 2 ）与上面过程类似，有256→ =16→ → =2→ ，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→ =15→ → =1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为：255.
【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案.
16．【答案】3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ 、 有意义，
∴x+y=2①，
∴
∴3x+5y 3 m=0②且2x+3y m=0③，
把①代入②得，2y+3 m=0④，
把①代入③得，y+4 m=0⑤，
④-⑤得y＝1，
所以m＝5.
所以
故答案为：3.
【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
17．【答案】（1），，
（2）
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）
18．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；求算术平方根
19．【答案】（1）解：∵正数x的两个平方根分别为3和2a+7，
∴3+2a+7=0，
∴a=-5；
（2）解：∵正数x的两个平方根分别为3和-3，
∴x=9，
∴36-x=27，
∴36-x的 立方根为3.
【知识点】平方根的性质；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数，得出3+2a+7=0，即可得出a=-5；
（2）先求出x=9，得出36-x=27，再根据立方根定义即可得出27的立方根是3.
20．【答案】（1）2，4
（2）
（3）
【知识点】平方根的概念与表示；利用开平方求未知数
21．【答案】（1）两
（2）2；3
（3）32
（4）解：∵，，且，
∴是一个2位数.
∵13824的个位上的数是4，
∴可以确定，的个位上的数是4.
∵13824前2位的数字是13，且，
∴可以确定十位上的数字是2.
综上所述，.
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）（2）（3）∵，，且，
∴是一个2位数.
∵32768的个位上的数是4，
∴可以确定，的个位上的数是2.
∵ 划去32768后面的三位数768得到32 ，且，
∴可以确定十位上的数字是3.
综上所述，.
故答案为：2；3；32.
【分析】 通过第（1）步，求出立方根的数位，然后通过第（2）步分别求出各数位上的数字.
22．【答案】；；；
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴ ，即
，即 .
故答案为： ， ， ， .
【分析】由材料中的公式，将a1的值代入即可求出a2，a3即可解答.
23．【答案】（1）2；5
（2）1，2，3
（3）解：第一次：，第二次：，第三次：，
∴第3次之后结果为1；
（4）255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5；
（2）解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
故答案为：255.
【分析】（1）根据算术平方根的定义、估算无理数大小的方法和新规定可得答案；
（2）根据，，即可得；
（3）根据新规定逐步计算即可；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255．
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