资源简介

(共26张PPT)
24.2.2 直线和圆的位置关系
课时2 切线的判定和性质
第二十四章 圆
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
重点：直线和圆的三种位置关系
难点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用.
学习目标
直线与圆的 位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2
交点
1
切点
切线
0
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
割线
知识准备
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
情境导入
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：
（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
A
B
C
O
知识点一：切线的判定定理
新知探究
总结
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理：
几何语言：
A
B
C
O
∵ OA 为⊙O 的半径，
BC⊥OA 于A，
∴BC 为⊙O 的切线.
归纳总结
例1 判断:
(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( )
(2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( )
(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )
×
×
×
典型例题
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件：
(1) 直线经过半径的外端；
(2) 直线与这半径垂直.
缺一不可
归纳总结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴ AB是⊙O的切线.
典型例题
当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.
归纳总结
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过D作DE ⊥AC于E.
∵∠ABC =90°，∴DB ⊥ AB.
又∵AD平分∠BAC，DE ⊥AC，
∴DE=DB=r.
∵DE ⊥AC，
∴AC 是⊙O 的切线.
典型例题
当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.
归纳总结
(1)有交点，连半径，证垂直；
证切线时辅助线的添加方法
(2)无交点，作垂直，证半径.
例3
例2
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
知识点二：切线的性质定理
新知探究
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
思考
（1）假设AB与CD不垂直，过点O作 一条直径垂直于CD，垂足为M；
理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法：反证法
性质定理的证明
例4 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB.若∠B=25°，求∠P的度数.
B
O
P
A
解：如图，连接OA.
∵PA是⊙O的切线，
∵∠AOP=2∠B=50°，
∴∠P=180°-90°-50°=40°.
∴∠OAP=90°.
典型例题
E
例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
D
A
分析：判定切线，无切点，则作垂直(OE），证半径（OE=OD）；由AB与⊙O相切于点D，得OD⊥AB；再根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得出结论.
证明：如图，连接OD，OA，过O 作OE ⊥AC于E.
∵⊙O 与AB 相切于D，∴OD ⊥ AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是BC 的中点，
∴AO 平分∠BAC.
∴OD ＝OE.
∵OD 是⊙O 半径，OE ＝OD，OE ⊥ AC，
∴AC 是⊙O 的切线．
又OD ⊥AB ，OE⊥AC，
E
B
O
C
D
A
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
归纳总结
2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
1.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 .
A
P
O
第1题
P
O
第2题
D
A
B
C
相切
C
当堂检测
3.(长春)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC = 35°，则∠ACB 的大小是 ( )
A. 35° B. 45°
C. 55° D. 65°
C
4. (湘潭) 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E．
(1) 求证：△ABD≌△ACD；
(2) 判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：(1) 证明：∵AB 为☉O 的直径，
∴ AD⊥BC.
在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
(2) 直线 DE 与⊙O 相切，理由如下：
连接 OD，如图所示：
由△ABD≌△ACD 可得 BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴ OD 为△ABC 的中位线.
∴ OD∥AC.
∵ DE⊥AC，
∴ OD⊥DE.
∵ OD 为⊙O 的半径，
∴ DE 与⊙O 相切．
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂总结

展开更多......

收起↑