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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第二十二章 二次函数
课时2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
重点：作出二次函数的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及的作用的理解.
学习目标
a,c的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，k）
（0，k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
复习导入
问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移个单位长度得到.
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
探究新知
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－4.5
O
x
y
－8
－8
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
二次函数 y=a(x-h)2(a≠0)的性质
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,0） （h,0）
最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
归纳总结
(1)完成下表；
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
(2)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
例1 已知二次函数y＝ (x﹣1)2．
﹣1
0
1
2
3
2
0
2
解：描点，画出该二次函数图象如下：
典型例题
（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（4）当x取何值时，y随x的增大而增大；
（3）对称轴为直线x=1.
顶点坐标为(1,0).
（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.
（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；
（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,
∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.
∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，
∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.
注意：已知自变量取值范围，求函数值的范围时，注意该函数是否在自变量取值范围内取最值
若-1≤x≤5，求y的取值范围；
思考
（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
∵m＞1，∴1＜m＜m+1，
变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2.
向右平移
1个单位
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
探究新知
思考
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到.
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
归纳总结
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
典型例题
1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
当堂检测
2.如果二次函数y＝a(x﹣1)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是_________．
3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
4 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
a＞0
已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.
能力提升
思路分析：
二次函数图象的对称轴未知(h未知),应分类讨论：
分类讨论
h＜-1
﹣1≤h≤3
h＞3
x=-1时取最小值
x=3时取最小值
y的最小值为0
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4，
可得（﹣1﹣h）2＝4，
解得h＝﹣3或h＝1（舍）；
②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，
可得：（3﹣h）2＝4，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
综上，h的值为﹣3或5.
③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
课堂总结

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