资源简介

(共24张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第二十二章 二次函数
课时3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
重点：作出二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象，探索其性质.
难点：抛物线的平移规律的理解以及的作用的理解.
学习目标
1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
，
口决：上加下减
口决：左加右减
2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？
猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
复习导入
O
X
y
3
-2
O
y
3
-2
X
请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
例1 画出函数 的图象.指出它的开口方向、对称轴和顶点.
探究新知
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1；
顶点坐标是(-1，-1).
试一试
画出函数y=2(x+1)2-2的图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2).
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,k） （h,k）
最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
归纳总结
例2 二次函数y＝﹣2(x+1)2﹣4，下列说法正确的是( )
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为(1，4)
D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
D
典型例题
例3 已知抛物线y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)．
（1）指出抛物线的对称轴；
（2）求a的值；
解：（1）由y＝a（x﹣3）2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3.
（2）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，
∴a＝﹣1.
（3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
∴y1＜y2．
（3）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴此函数的图象开口向下，
当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
向左平移
1个单位
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？
平移方法1
向下平移
1个单位
探究新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
归纳总结
例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2（x-4）2-1
B．y=2（x+4）2+1
C．y=2（x-4）2+1
D．y=2（x+4）2-1
B
典型例题
1.将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝5（x+2）2+3
B．y＝5（x﹣4）2﹣1
C．y＝5（x﹣4）2+3
D．y＝5（x﹣3）2+4
变式训练
C
例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
典型例题
例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解：如图建立直角坐标系，
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得
因此抛物线的解析式为
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时，y=2.25.
答:水管长应为2.25 m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3(0≤x≤3)
3
4
－
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
当堂检测
2.已知函数y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(1)指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　 ，顶点坐标为　 　 ；
(2)当x　 　 时，y随x的增大而减小；
向下
直线x＝4
（4，﹣1）
＞4
解：将抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣(x﹣4)2﹣1．
3.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1.
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点
(1，－4)，且平行于y轴的直线，
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象的特点
当a>0，开口向上；当a<0，开口向下.
对称轴是x=h，
顶点坐标是(h，k).
平移规律
左右平移：
括号内左加右减；
上下平移：
括号外上加下减.
课堂总结

展开更多......

收起↑