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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
第二十二章 二次函数
课时1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴.
难点：二次函数的图像及性质.
学习目标
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
复习导入
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0，0)
y轴
0
(0，-5)
y轴
-5
(-2，0)
直线x=-2
0
(-2，-4)
直线x=-2
-4
(4，3)
直线x=4
3






将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
问题 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
（1）x2-12x+36=_____________;
填一填
（2）x2-12x=_____________ .
(x-6)2
(x-6)2-36
探究新知


(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
思考
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax +bx+c
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；
当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；
当x> 时，y随x的增大而减小.
问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
探究新知
5
10
x
y
5
10
问题3 如何画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O

x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
y ··· ···
-15
-5
1
3

1
-5
-15
典型例题
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
二次函数字母系数与图象的关系
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＞
＞
探究新知
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，x＜0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
＞0
＜0
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，x=0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
典型例题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
当堂检测
2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
D
O
y
x
–1
–2
3
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y= –2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c(a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
课堂总结

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