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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
第二十二章 二次函数
课时2 待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
重点：运用待定系数法求二次函数解析式.
难点：根据条件恰当设二次函数解析式.
学习目标
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
复习导入
一、用一般式法求二次函数的表达式
问题 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
3个
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
探究新知
所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5.
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
解得
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴）.
思考
例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
∴所求的二次函数的表达式是
解得
典型例题
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
用一般式法求二次函数表达式的方法
归纳总结
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
试求出这个二次函数的表达式.
练一练
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：（表达式）
2.代：（坐标代入）
3.解：方程（组）
4.还原：（写解析式）
例2 已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(1，-3)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-1)2-3.
二、用顶点法求二次函数的表达式
已知顶点坐标，只需知一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式
典型例题
用顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
1.已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），
设关系式为y=a(x-5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，
解得
∴二次函数的关系式为
当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式求解析式
练一练
解：∵(-3，0)、(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
问题 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
三、用交点法求二次函数的表达式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
探究新知
用交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1， x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2；
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，
∴图象经过另一点(3，0).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).
将点(0，-3)代入，得
-3=a·(-1)(-3)
解得
a=-1.
∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
典型例题
（2）图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3)；
解：∵图象的顶点为(-2，3)，且经过点(1，-3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
把(1，-3)代入，得a(1+2)2+3=-3，
得
∴抛物线的解析式为
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（0，-3），C（4，5）三点，
代入可得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
1.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( )
B
A. y=x2-4x+5 B. y=x2-4x-5
C. y=x2+4x-5 D. y=x2+4x+5
当堂检测
2.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数表达式为　 　.
3.若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点(-1,3),且对称轴是直线x=1,则抛物线的函数表达式为　 　.
y=-x2+4x-3
y=2x2-4x-3
4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c.
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴S△BCD＝ ×8×7＝28.
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴、最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1，x2为交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数解析式
课堂总结

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