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22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
课时1 面积最值问题
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.
难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.
学习目标
将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？
情景导入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9.
（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；
顶点坐标：（ ， ）；最大值： .
引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
求二次函数的最大（或最小）值
探究新知
追问1 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
小球的高度 h 与小球的运动时间 t 之间的关系.
引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)．
追问2 如何判断小球的运动
时间是多少 s 时，小球最高呢？
画出二次函数图象.
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t 5t 2(0≤t≤6)
追问3 根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？
追问4 小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？
引例： h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t 5t 2(0≤t≤6)
顶点.
顶点的纵坐标.
追问5 如何求出小球的最大高度？
故小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t 5t 2(0≤t≤6)
∵ 0＜3＜6，
问题1 二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.
探究新知
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x= 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？
当a＞0时，有 ，此时 .
当a＜0时，有 ，此时 .
问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
0
y
解：
-3
1
（1）
当 时，y最小值=
当 时，
典型例题
解：
O
x
y
1
-3
（2）
即x在对称轴的右侧.
当 时，
函数的值随着x的增大而减小.
当 时，
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
归纳总结
二次函数与几何图形面积的最值
例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示其邻边的长？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
矩形面积=长×宽
邻边长为(30-l)米
S=(30-l)l=-l2+30l
典型例题
解：根据题意得
S=l(30-l)，
即 S=-l2+30l (0因此，当 时，S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
问题4 当l是多少米时，场地的面积S最大？
变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
60-2x
x
x
(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m.
矩形菜园的面积S=_________________________.
想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
(60-2x)
x(60－2x)＝－2x2＋60x
∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2.
解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60-2x)m.
∴矩形菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
∵S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450，
设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
根据题意，求出自变量的取值范围
写出二次函数解析式，化为顶点式
结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值
(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x m，
由（1）知S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450.
问题1 与(1)有什么区别？
试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.
21≤ x ＜30.
是否依然在x=15时，S取得最大值？
问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？
当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小，
当 x =21时，S取得最大值，
此时S=－2×(21－15)2+450=378m2.
注意:实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
归纳总结
1.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.
8
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
当堂检测
3.如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式.
直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
A
B
C
D
15m
∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大，
而 0＜x≤15.
解：设 BC 的边长为 x m，
解：(1) 由题意得，
(0＜x≤15).
(2)
∴ 当 x = 15 时，S 有最大值，
即矩形 ABCD 的面积最大.
x
A
B
C
D
15m
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课堂总结

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