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22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
课时2 最大利润问题
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题.
学习目标
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
最小值
最大值
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
x
y
O
x
y
O
新课导入
思考
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
利用二次函数解决商品利润最大问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
探究新知
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
(20+x)
(300-10x)
(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
典型例题
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
即涨价5元时，最大利润是6250元.
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
(20-x)
(300+20x)
(20-x)(300+20x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
即：y=-20x2+100x+6000.
6000
综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
当 时,
即降价2.5元时，最大利润是6125元.
即：y=-20x2+100x+6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗
变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．
(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000.
∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．
(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，
∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，
∴75≤x≤90.
根据题意，确定自变量的取值范围
注意：需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
归纳总结
1.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示：
(1) 求 y 与 x 的函数解析式；
(2) 求这一天销售西瓜获得的利润
W 的最大值.
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
当堂检测
分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式；
解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为y = kx + b (k≠0)
由题意得
6k + b = 1000，
10k + b = 200，
｛
k = -200，
b = 2200.
｛
解得
∴ y = -200x + 2200.
当 10≤x≤12，y = 200
故 y 与 x 的函数解析式为
y =
-200x + 2200 (6≤x≤10)
200 (10＜x≤12)
｛
O
6
200
1000
8
x
y
10
12
分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值.
(2) 由已知得： W = (x - 6)y
当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)
= -200x2 + 3400x - 13200
又∵ -200＜0，
∴当 时，利润 w 有最大值.
∵对称轴
当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200.
∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大.
∴ x = 12 时， W 有最大值.
W最大值 = 200×12 - 1200 =1200.
综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，最大利润为 1250 元.
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
课堂总结

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