资源简介 (共17张PPT)22.3 实际问题与二次函数第二十二章 二次函数课时2 最大利润问题1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.重点:探素销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.难点:从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型,以利用二次函相关知识解决实际生活中的最大(小)值问题.学习目标二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定?最小值最大值二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.xyOxyO新课导入思考在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中,作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?利用二次函数解决商品利润最大问题某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 元,销售利润 元.180006000数量关系(1)销售额= 售价×销售量;(2)利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;(3)单件利润=售价-进价.探究新知例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?涨价销售①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)正常销售涨价销售20300(20+x)(300-10x)(20+x)(300-10x)建立函数关系式:y=(20+x)(300-10x),即:y=-10x2+100x+6000.6000典型例题②自变量x的取值范围如何确定?营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x ≥0,且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少?y=-10x2+100x+6000,当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时,最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)正常销售降价销售20300(20-x)(300+20x)(20-x)(300+20x)建立函数关系式:y=(20-x)(300+20x),即:y=-20x2+100x+6000.6000综上可知,定价57.5元时,最大利润是6125元.②自变量x的取值范围如何确定?营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x ≥0,且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.③降价多少元时,利润最大,最大利润是多少?当 时,即降价2.5元时,最大利润是6125元.即:y=-20x2+100x+6000,由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗 变式 某电商在购物平台上销售一款小电器,其进价为45元件,每销售一件需缴纳平台推广费5元,该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系:y=-2x+180.为保证市场稳定,供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件.(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式;解:(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000.∴当x=75时,有最大利润,最大利润为750元.(2)每件小电器的销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润最大,最大是多少元?(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800,∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件,∴75≤x≤90.根据题意,确定自变量的取值范围注意:需根据函数的增减性确定自变量的函数最值,而非在顶点处取最值求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式:运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出.归纳总结1.某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示:(1) 求 y 与 x 的函数解析式;(2) 求这一天销售西瓜获得的利润W 的最大值.O620010008xy1012当堂检测分析:根据函数图象得到直线上的两点,再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式;解:(1) 当 6≤x≤10,设 y 与 x 的关系式为y = kx + b (k≠0)由题意得6k + b = 1000,10k + b = 200,{k = -200,b = 2200.{解得∴ y = -200x + 2200.当 10≤x≤12,y = 200故 y 与 x 的函数解析式为y =-200x + 2200 (6≤x≤10)200 (10<x≤12){O620010008xy1012分析:根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量,列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值.(2) 由已知得: W = (x - 6)y当 6≤x≤10,W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)= -200x2 + 3400x - 13200又∵ -200<0,∴当 时,利润 w 有最大值.∵对称轴当 10<x≤12,W = (x - 6)·200 = 200x - 1200.∵ k = 200>0,∴ W 随 x 的增大而增大.∴ x = 12 时, W 有最大值.W最大值 = 200×12 - 1200 =1200.综上所述,当销售价格为 8.5 元时,取得最大利润,最大利润为 1250 元.最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0;降价:要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.课堂总结 展开更多...... 收起↑ 资源预览