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22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
课时3 抛物线形（拱桥）问题
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型.
难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便.
学习目标
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
问题导入
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
利用二次函数解决实物抛物线形问题
问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
探究新知
问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是（0.0），因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
问题3 如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解得
这条抛物线表示的二次函数为y=
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
B
问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
令 解得
即，水面下降1m时，水面宽度增加
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
解决抛物线型实际问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的直角坐标系；
（2）把已知条件转化为点的坐标；
（3）合理设出函数解析式；
（4）利用待定系数法求出函数解析式；
（5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
归纳总结
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
典型例题
例 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），
篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a=－0.2，
k=3.5.
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
当 x=－2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
1.某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：（1）∵
故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2.
（2）令y=0,即
解得x1=0,x2=4.
即喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
当堂检测
2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣ x2+2x+c表示．
（1）请写出该抛物线的函数关系式；
解：（1）根据题意得C（0，4），
把C（0，4），
代入y＝﹣ x2+2x+c得c＝4，
所以抛物线解析式为y＝﹣
x2
+2x+4.
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
所以这辆货车能安全通过.
（2）抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+4
（x﹣6）2+10，
所以对称轴为x＝6，
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6，
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）令y＝8，则
（x﹣6）2+10＝8，
，x2＝6﹣2
解得x1＝6+2
则x1﹣x2＝4
所以两排灯的水平距离最小是4 m.
能力提升
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
y
x
O
-450
450
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a 4502+0.5.
解得
故所求表达式为
y
x
O
-450
450
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.
解：当x=450－100=350时，得
当x=450－50=400时，得
y
x
O
-450
450
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
课堂总结

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