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25.2 用列举法求概率
第二十五章 概率初步
课时1 列表法求概率
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法”．
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果．
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率．
重点：掌握用列表法求简单事件概率.
难点：不重不漏列举全部的结果.
学习目标
重点难点
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？
我们一起来做游戏
导入新课
同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
①
②
一、用直接列举法求概率
讲授新课
探索交流
“掷两枚硬币”所有结果如下：
正 正
正 反
反 正
反 反
①
②
①
②
①
②
①
②
解：
(1) 两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形，所以学生赢的概率是
(2) 一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上，共有反正，正反两种情形，所以老师赢的概率是
∵P(学生赢) = P(老师赢)，
∴这个游戏是公平的.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
注意
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次
抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有
可能结果一样吗？
答：一样.
抛掷两枚硬币，可想象先掷一枚，再掷一枚.
“掷两枚硬币”的结果涉及两个因素(第一枚硬币与第二枚硬币)，可以采用“分步”的策略对两个因素逐一进行分析.
思考
归纳总结
如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，求抽取的三条线段能构成三角形的概率.
解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，
其中三条线段能构成三角形的有2种结果，
所以三条线段能构成三角形的概率为
试一试
问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
P(两面都一样) =
P(两面不一样) =
还有别的方法求下列事件的概率吗？
同时掷两枚硬币，共有4种结果，分别是正正，正反，
反正，反反.
二、用列表法求概率
讲授新课
互动探究
①
①
①
②
②
①
①
②
②
②
①
②
第1枚硬币
第
2
枚硬币
反
正
正
反
正
正
反
正
正
反
反
反
还可以用列表法求概率
问题2 怎样列表格？
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况，即n
列表法中表格构造特点：
说明：如果第一个因素包含2种情况，第二个因素包含3种情况，那么所有情况n=2×3=6.
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子点数的和是9；
(3) 至少有一个骰子的点数为2.
分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
典例精析
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
第
一
个
第
二
个
注意有序数对要统一顺序
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验 结果是一种有效的方法.
提示
(1) 满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P(A)= ；
(2) 满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B）的
结果有4个，则P(B)= ；
(3) 满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P(C)= .
例2 一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
结果
第一次
第二次
解：利用表格列出所有等可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，白）
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红1）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
（红2，红2）
由上表可以看出，摸两次球可能出现的结果有9种，
其中两次摸出的都是红球的结果有4种，所以
变式：一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
结果
第一次
第二次
用列表法求概率适用于事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多的概率问题.
在运用列表法求概率时，应注意各种结果出现的可能性相等，要注意列表的顺序，并不重不漏地列出所有可能的结果.
归纳总结
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（ ）
2.某次考试中，每道单项选择题有4个选项，某同学有两道单项选择题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ）
B
D
A. B. C. D.
A. B. C. D.
课堂练习
3. 如图，有两个转盘，指针落在每一个数的可能性大小一样(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求两个指针同时落在奇数的概率.
1
2
3
4
5
7
6
8
9
10
右扇
形
左扇形
结果
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(5,1)
(6,1)
(7,1)
(8,1)
(9,1)
(10,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(6,2)
(7,1)
(8,2)
(9,2)
(10,2)
(6,3)
(7,1)
(8,3)
(9,3)
(10,3)
(6,4)
(7,1)
(8,4)
(9,4)
(10,4)
解：列表如下：
共有 24 种等可能的结果，两个指针同时落在奇数共 6 种.
∴两个指针同时落在奇数的概率为
列举法
关键
常用
方法
直接列举法
列表法
画树状图法
（下节课学习）
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验
基本步骤
列表；
确定m、n值代入概率公式计算
在于正确列举出试验结果的各种可能性
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
前提条件
课堂小结

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