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25.2 用列举法求概率
第二十五章 概率初步
课时2 画树状图法求概率
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树状图计算事件的概率.
3.会正确用画树状图法求出所有可能出现的结果，并计算事件的概率.
重点：画树状图计算简单事件的概率.
难点：通过学习画状形图计算概率，培养学生思维的条理性.
学习目标
重点难点
一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少
主干
支干1
小分支1
2
3
2
3
4
5
6
7
主干
支干2
支干1
支干3
小分支
1
小分支
2
小分支
3
小分支
4
小分支
5
小分支
6
小分支
7
√
√
建立数学模型
复习导入
类比上题的方法求解下列问题.
问题：同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两者都正面向上的概率是多少？
开始
正
反
第 2 枚
第 1 枚
正
反
正
反
结果
(反，反)
(正，正)
(正，反)
(反，正)
一、利用画树状图法求概率
讲授新课
一个试验
第一个因素
第二个因素
如一个试验中涉及 2 个因素，第一个因素中有 2 种可能情况；第二个因素中有 3 种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
3
则其树状图如下图：
n = 2×3 = 6
树状图法：按事件发生的次序，列出其可能出现的结果.
树状图的画法
例1 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小球，分别写有字母 H 和 I. 从三个口袋中各随机取出 1 个小球．
(1) 取出的 3 个小球上恰好有 1 个，2 个，3 个有元音
字母的概率分别是多少？
(2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？
典例精析
I
H
D
E
C
A
B
乙
分析：这次试验是从甲→乙→丙
三个口袋中依次取出.
甲
丙
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
结果
本题中，A，E，
I 是元音字母；B
C，D，H 是辅音
字母.
(1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音字母的概率各是多少？
解：由树状图知所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等.
满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则P (1个元音) =
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
结果
√
√
√
√
√
满足三个全部为元音字母的结果有 1 个，
满足只有两个元音字母的结果有 4 个，
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
√
√
√
√
√
(2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
√
√
画树状图求概率的基本步骤：
① 明确一次试验有几个步骤和顺序；
② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图；
③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值；
④ 找出符合条件的结果个数 m；
⑤ 求概率 .
归纳总结
问题1 试验能够用树状图列举结果的前提条件是什么？
(1) 每一次试验中，可能出现的结果只有_______；
(2) 每一次试验中，各种结果出现的可能性______.
有限个
相等
问题2 用树状图列举结果的优点是什么？
① 列举的结果一目了然，不重不漏；
② 特别适合 3 个或 3 个以上步骤的试验.
1. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率 .
∴共有 9 种等可能的结果.
直
右
第二辆车
第一辆车
左
右
左
直
左
右
直
左
右
直
开始
事件A
分析：
_____
链接中考
类型一：放回型
例2 (沈阳期末) 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人进行摸球游戏：甲先从盒中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再由乙从盒中随机摸出一球.
(1) 试用树状图 ( 或列表法 ) 表示两次摸球游戏所有可能的结果；
(2) 如果规定：若能配成紫色 (红色和蓝色配成紫色) 为甲胜，
否则为乙胜，这个游戏公平吗 请说明理由.
三、利用列举法及画树状图法求概率的应用
讲授新课
(1) 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”，
然后画树状图如下：
红1
蓝
乙
甲
红2
蓝
红2
红1
开始
红2
蓝
红1
红2
蓝
红1
(2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 9 种等可能的结果，
∴能配成紫色的有 4 种结果，则
∴这个游戏不公平.
(1) 解：先将三个红球分别记为“红1”“红2”“红3”
“黑1”“黑2”，然后画树状图如下：
红1
红3
小军
小明
红2
开始
黑1
黑2
红2
红3
黑1
黑2
红1
红3
黑1
黑2
红1
红2
黑1
黑2
红2
红3
红1
黑2
红2
红3
红1
黑1
红1 红2 红3 黑1 黑2
红1 红2红1 红3红1 黑1红1 黑2红1
红2 红1红2 红3红2 黑1红2 黑2红2
红3 红1红3 红2红3 黑1红3 黑2红3
黑1 红1黑1 红2黑1 红3黑1 黑2黑1
黑2 红1黑2 红2黑2 红3黑2 黑1黑2
方法二：列表如下
小军
小明
结
果
比较一下，用树状图法还是列表法更便捷？
(2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 20 种等可能的结果，
∴两人所取球的颜色相同有 8 种结果，则
∴这个游戏不公平.
类型二：不放回型
例3 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：
一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 个红球
和 2 个黑球，两人先后从袋中取出一个球(不放回) ，
若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
(1) 请用树状图或列表法求出摸球游戏所有可能的结果；
(2) 你觉得本游戏规则是否公平，请说明理由.
(1) 解：先将三个红球分别记为“红1”“红2”“红3”
“黑1”“黑2”，然后画树状图如下：
红1
红3
小军
小明
红2
开始
黑1
黑2
红2
红3
黑1
黑2
红1
红3
黑1
黑2
红1
红2
黑1
黑2
红2
红3
红1
黑2
红2
红3
红1
黑1
红1 红2 红3 黑1 黑2
红1 红2红1 红3红1 黑1红1 黑2红1
红2 红1红2 红3红2 黑1红2 黑2红2
红3 红1红3 红2红3 黑1红3 黑2红3
黑1 红1黑1 红2黑1 红3黑1 黑2黑1
黑2 红1黑2 红2黑2 红3黑2 黑1黑2
方法二：列表如下
小军
小明
结
果
比较一下，用树状图法还是列表法更便捷？
(2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 20 种等可能的结果，
∴两人所取球的颜色相同有 8 种结果，则
∴这个游戏不公平.
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放两本，共有 种不同的放法.
1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为( )
10
C
课堂练习
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 7，
6，-2 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.
先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子
里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用
列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
(1) 两次取出的小球上的数字相同；
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10.
6
-2
7
(1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有 3 种，
所以 P(数字相同) =
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10 可能性只有
4 种，所以 P(数字之和大于 10) =
解：根据题意，画出树状图如下：
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
树状图
关键步骤
注意
弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；
在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.
关键要弄清楚每一步有几种结果；
在树状图下面对应写着所有可能的结果，并找出事件所包含的结果数；
利用概率公式进行计算.
课堂小结

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