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3.4 一元一次方程的应用
第 1 课时 和、差、倍、分问题
情境导入
为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区举办了一次中学生足球联赛. 比赛规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分. 若某校初中男子足球队参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.问：该队胜多少场？平多少场？
一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.
胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分.
参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.
② 胜的场数得分+平的场数得分=总得分
① 胜的场数+平的场数+负的场数=总场数
分析题意，可知其中蕴含了以下等量关系：
探究新知
设该队胜x场，填写下表：
胜 平
场数
得分
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得 x＝ .
因此，该队胜 场，平 场。
x
14－5－x
3x
1×(14－5－x)
3x + (14－5－x) = 19
5
5
4
胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分.
参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.
② 胜的场数得分+平的场数得分=总得分
① 胜的场数+平的场数+负的场数=总场数
可不可以设其他未知量？
14－5－5=4（场）
设该队平y场，填写下表：
胜 平
场数
得分
根据等量关系②，可列出方程：
.
解得 y＝ .
因此，该队胜 场，平 场。
y
14－5－y
y
3(14－5－y)
3(14－5－y) +y= 19
4
5
4
胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得0分.
参加了 14 场比赛，负了5场，共得 19 分.
② 胜的场数得分+平的场数得分=总得分
① 胜的场数+平的场数+负的场数=总场数
14－5－4=5（场）
1. 当问题中含有两个未知量、两个等量关系时，可以把其中一个未知量设为未知数，另一个未知量 (根据其中一个等量关系) 用含未知数的代数式表示，而另一个等量关系则用来列方程.
2. 可以采用列表格的方法搞清较复杂问题中的各个量之间的关系.
方法总结
例1 某房间里有 4 条腿的椅子和 3 条腿的凳子共 16 把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为 60，试问：有几张椅子和几把凳子？
典例精析
【分析】本问题中涉及的等量关系有：
椅子数 + 凳子数 = 16，椅子腿数 + 凳子腿数 = 60.
解：设有 x 张椅子，则有 (16 - x) 把凳子.
由题意得： 4x + 3(16 - x) = 60.
解得 x = 12.
16 - 12 = 4 (把).
答：有 12 张椅子，4 把凳子.
例2 某校七年级甲班有 45 人，乙班有 39 人. 现要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛，如果从甲班抽调的人比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍. 请问：从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛
【分析】本问题中涉及的等量关系有：
(1) 甲班抽调的人数－乙班抽调的人数＝1；
(2) 抽调后甲班剩余人数＝乙班剩余人数×2.
解：设从甲班抽调了 x 人，则从乙班抽调了(x－1)人.
根据题意，得
45－x＝2[39－(x－1)].
解得 x＝35.
x－1＝35－1＝34（人）.
答：从甲班抽调了 35 人，从乙班抽调了 34 人参加歌咏比赛.
儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
练一练
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
根据题意，得
4（13 + x）= 40 + x.
解得 x = – 4.
即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
例3 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少
【分析】三种颜色的配料比为1 : 2 : 6，可以把咖啡色看作1份，红色看作2份，白色看作6份，共有1+2+6=9份，而这9份的总量就是45克，可以把每一份设为x克列方程解答。
例3 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少
解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克.
依据题意，得 x + 2x + 6x = 45.
解方程，得 x = 5.
2x = 10（克），6x = 30（克）.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克.
比例问题：就是把一个总量按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程.
方法总结
例4 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母)
【分析】本题有两个等量关系值得关注，
一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29；
二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3.
解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母．
根据题意得 15x：21(29－x) =2：3
解得 x＝14.
29－x＝15（人）.
答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓
和螺母正好配套．
1.和差倍分问题常用技巧：常用“多、少、大、小、倍、几分之几”或“增加、减少、缩小”等词语体现等量关系；
2.对于隐含等量关系的题目，需要把握3点：
①各部分的数量之和=全部数量；
②较大量=较小量+多余量；
③总量=倍数×数量。
方法总结
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立方程模型
解方程
检验解的
合理性
分析等量关系
设未知数
议一议
解决
课堂小结
一元一次方程的应用
比例问题
和、差、倍、分问题
步骤
方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x.
1.分析题意，设未知数；
2.找等量关系，列方程；
3.解方程；4.检验作答
方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量
课堂练习
1. 甲、乙二人按照 2∶5 的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，第一个月盈利 3500 元，那么甲得 ，乙分别应得 .
2. 一个两位数，个位数字和十位数字的和为 7，如果把十位数字和各位数字对调，所得新数比原数大 45，则原两位数是 .
1000 元
2500 元
16
3.(1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽
多5cm，求该长方形的长；
解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm.
根据题意，得 2x+2(x-5)=60
解得 x=12.5
答：该长方形的长为12.5 cm.
(2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.
解：(2) 设长方形的长为3x cm，则宽为 2x cm.
根据题意，得 2(3x+2x)=60
解得 x=6
2x=12(cm)
答：该长方形的宽为12 cm.
下 课
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