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第二十七章 相似 单元测试
一、单选题
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如果，那么下列比例式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=5，CD=3，则AD的长为（ ）
A．2.25 B．2.5 C．2.75 D．3
5．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m
C．4.5m D．5m
6．如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是(　　)
A．AB∶AC=AC∶BC B．AB∶BC=BC∶AC
C．AC∶BC=BC∶AB D．AC∶AB=AB∶BC
7．已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，P为边AB上一点且AP：：、F分别是的中点，、的面积分别为S和，则S和的关系式（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
12．对应边成比例，对应角相等的两个三角形 ．
13．据有关测试，当气温与人体正常体温的比为黄金比值时，人体感到最舒适．因此夏天使用空调时温度调到 ℃时最舒适．(人体正常体温按37℃计算，结果保留整数)
14．已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB= ．
15．如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是 ．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，求证：△DAF∽△AEB．
17．如图，与相似，AD，BE是的高，，是的高，求证．
18．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：．
19．如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，求证线段FD是线段FG 和 FB的比例中项．
20．如图，中，点D，E分别是上的点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，试求的度数．
《第二十七章 相似 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A D A B D D B
1．D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．
【详解】解：∵在同一时刻，
∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，
即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．
3．C
【分析】本题考查了比例的性质，把比例式化成等积式是解题的关键．从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答．
【详解】选项A中，因为所以，故A不符合题意；
选项B中，因为，所以，故B不符合题意；
选项C中，因为，所以，故C符合题意；
选项D中，因为，所以，所以，所以，故D不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】如图，根据勾股定理求出BD的长，再根据三角形相似的判定得到△ACD∽△CBD，从而根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.
【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∵BC=5，CD=3，
∴BD==4，
∵∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴AD:CD=CD:BD,
∴AD=2.25
选A.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明这两个三角形相似.
5．D
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故选：D
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
6．A
【详解】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，依此即可知：AC2=AB AC，即AB∶AC=AC∶BC.
故选A
点睛：此题主要考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．这里应注意AC是较长线段．
7．B
【分析】由△ADC和△ABC相似，可得到，从而完成求解．
【详解】∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
8．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得．
【详解】解：，，
，
，
故选：D．
9．D
【详解】试题解析：∵E、F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴，即S△PBC=4S1，
∵AP：BP=1：2，
∴S△PBC：S△PAC=1：2，
∴S△PBC=2S1，
∴S=4S1+2S1=6S1，
即S1=S．
故选D．
10．B
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
11．4或6
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故，
则，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴，
即，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
12．相似
【解析】略
13．23
【分析】直接利用黄金分割的定义列方程解答即可．
【详解】解：设调到x ℃时最舒适，则≈0．618，解得x≈23．
故答案为23．
【点睛】本题考查了黄金分割比例的定义，根据定义列出一元一次方程是解答本题的关键．
14．5:3
【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3，
AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.
故答案为5:3.
15．9
【分析】先求解A的坐标，再表示B的坐标，再证明利用相似三角形的性质列方程求解即可．
【详解】解： 点，分别在双曲线和上，轴，
轴，
轴，
而，
解得：
故答案为：9
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，掌握“反比例函数的图像与性质”是解本题的关键．
16．见解析．
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BAE，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＋∠BAE＝90°．
∵DF⊥AE于F，
∴∠DAF＋∠ADF＝90°．
∴∠ADF＝∠BAE．
又∵∠DFA＝∠B＝90°，
∴△DAF∽△AEB．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据正方形的角的关系推出∠ADF＝∠BAE是解题的关键．
17．见解析
【分析】由△ABC与△A′B′C′相似可得∠ABD=∠A′B′D′，可证明△ABD∽△A′B′D，可得，同理可证明，可得出结论．
【详解】证明：∵△ABC与∽A′B′C′，
∴∠ABD=∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高，
∴∠ADB=∠A′D′B′，
∴△ABD∽△A′B′D，
∴，
同理可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可．
【详解】证明：，
，
，
，
，
．
19．（1），理由见解析； （2）证明见解析．
【分析】（1）先判断出关系，然后根据三角形全的判定SAS证明△BAC≌△DAE即可；
（2）根据条件证明△DFG∽△BFD，利用相似三角形的性质得出比例式，再利用比例的性质得出FD2=FG·FB即可．
【详解】解：（1）的数量关系是．
理由如下：．
又，
（SAS）．
．
（2），
．
．
又，
．
∴
即线段是线段和的比例中项．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
（1）由已知可得，结合，可以得到；
（2）设，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
而，
∴；
（2）解：设，由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．

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