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第十三章 三角形 单元测试
一、单选题
1．如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．如图表示三角形的分类，则表示的是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
3．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　）
A．45米 B．48米 C．50米 D．52米
4．三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（ ）
A．角平分线、高 B．中线、高
C．角平分线、中线 D．以上都不对
5．用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
6．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，根据以下条件：①．∠A+∠B＝∠C；②．a：b：c＝3：4：5；③．a2＝c2﹣b2 ；④．∠A：∠B：∠C＝1：2：3；⑤．a=32，b=42，c=52； ⑥．a= ，b= ，c= ．能判定△ABC 为直角三角形的有 （ ）
A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤⑥
7．已知在中，，，则下列说法：①若为等腰三角形，则的周长为10；②若是直角三角形，则斜边长为5；③若是的中线，则AD的取值范围是；④面积的最大值为6，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．
10．已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为( )
A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0
C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜2
二、填空题
11．由 三条线段 所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做 ；相邻两边的公共端点叫做 ，相邻两边所组成的角叫做 ，简称 ．
12．如图，直线，， ，则 ．
13．已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是 ．
14．如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
，
．
将不等式左边 右边分别相加，得
，
即 ．
15．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 ；
三、解答题
16．求出下列图形中的x的值．
17．，，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形．
18．如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，求的周长．
《第十三章 三角形 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B C A C D C
1．D
【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．
【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了三角形的分类，等边三角形的定义，根据，可得是等边三角形，由米，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴米，
故选：B．
4．C
【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答．
【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；
三角形三条角平分线的交点在三角形内部；
三角形三条中线的交点在三角形内部；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部．
5．B
【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；
先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可．
【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项，
故选：B
6．C
【分析】根据三角形内角和定理可分析出①④的正误；根据勾股定理逆定理可分析出②③⑥的正误，根据三角形的三边关系可以分析出⑤的正误．
【详解】解：①∠A+∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
②a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵，
∴能构成直角三角形；
③ ，
∴，
∴能构成直角三角形；
④∠A：∠B：∠C＝1：2：3；
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∵∠A+∠B＝x+2x=3x=∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴能构成直角三角形；
⑤，，，
a+b=c
不能构成三角形，
∴不能构成直角三角形；
⑥a= ，b= ，c=，
，，
∵，
∴不能构成直角三角形；
能构成直角三角形的是①②③④
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定和三角形的三边关系，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7．A
【分析】由等腰三角形的性质分情况求出周长可判断①；根据勾股定理及直角三角形的性质分情况求出斜边长可判断②；延长到点E，使，连接，证明，可得，在中，由三角形三边关系求出，可判断③；根据当时，的面积最大，求出面积的最大值进而可判断④．
【详解】解：①若为等腰三角形，
当时，的周长为，
当时，的周长为，故①说法错误；
②若是直角三角形，
当是斜边时，，
当是斜边时，则斜边长为4，故②说法错误；
③如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，由三角形三边关系得：，即，
∴，故③说法错误；
④在中，，，
当时，的面积最大，面积的最大值为，故④说法正确；
综上，正确的说法有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系定理、三角形面积以及周长等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故选：C．
9．D
【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到，然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：∵的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，
∴，
∴对角线长的取值范围是．
故选：D．
10．C
【分析】将两个函数联立求解可确定点M、N的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围．
【详解】解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，
即，
解得，，
假设M(2,1)，N(-2,-1)，
当时，
∵，，，
∴，
∴，，
当时，,
∴，
当时，,
∴，
综上， 或．
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．
11． 不在同一直线上的 首尾顺次相接 边 顶点 三角形的内角 三角形的角
【分析】本题利用三角形的概念即可得出结果．
【详解】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做边；
相邻两边的公共端点叫做顶点，
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，
简称三角形的角．
故答案为：不在同一直线上的；首尾顺次相接；边；顶点；三角形的内角；三角形的角．
【点睛】本题主要考查三角形的概念，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题的关键．
12．/30度
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
13．6或7或8
【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，
∴7-2＜x＜7+2，
即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
14．
【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答即可．
【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，
得AB+AD＞BD，
PD+CD＞PC．
将不等式左边、右边分别相加，
得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，
即AB+AC＞BP+PC．
故答案是：BD；PC；BD+PC；BP+PC．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出， ，推出，代入求出即可．
【详解】解：延长AP交BC于E，如下图．
∵BP平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
16．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据三角形内角和为，分别列式计算即可．
【详解】解：（1）由三角形内角和为得：，解得：．
（2）由三角形内角和为得：，解得：．
（3）由三角形内角和为得：，解得：．
（4）由三角形内角和为得：，解得：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，牢记知识点并能灵活应用是解题关键．
17．不能，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案．
【详解】解：，，
∴为较短边的长度，
又，
不能组成三角形．
18．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以；
因为的周长比的周长多，
所以，
即，
因为，
所以．
19．(1)25°，115°
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，证明见解析
(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°
【分析】（1）根据平角的定义，利用角的和差关系可得∠EDC的度数，利用三角形内角和即可求出∠DEC的度数；
（2）根据外角性质及角的和差关系可得∠BAD=∠EDC，根据∠B＝∠C，要使△ABD≌△DCE，则CD=AB，即可得答案；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可得答案．
【详解】（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°，
在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°，
故答案为：25°，115°
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝2．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，即可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）先把 代入方程得，则方程为，然后解方程求得x的值，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程得，
解得；
方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，，，5不能构成三角形，
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，
所以的周长为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．

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