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第十五章 轴对称 单元测试
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（ ）
A．36 B．18 C．32 D．不能确定
3．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下扔掉，剩下的图形展开后可得到（ ）
A． B．
C． D．
4．若点与点关于y轴对称，则的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
5．小冬站在镜子前，在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是“”请问，此时时间应该是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将半径为8的沿折叠，弧恰好经过圆心，则弧长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．在平面直角坐标系中，A点坐标为（4，2），在x轴上有一动点M，直线y＝x上有一动点N，则△AMN的周长的最小值（　　）
A． B．2 C．10 D．40
9．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　）
A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，）
C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，）
10．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴 ．
12．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是 ．
13．已知和关于x轴对称，则的值为 ．
14．如图，已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则、、三点所构成的三角形的形状是 ；连接，，交于，交于，，则的周长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是

三、解答题
16．在直角坐标系中，画一幅关于x轴（或y轴）对称的美丽图案，并说明你是如何做的．
17．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　 ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
18．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1．
(1)按要求作图：关于轴对称的图形；
(2)求的面积．
19．如图，是等边三角形，点是射线上的一个动点点不与点，重合，是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线，于点，，连接．
(1)求证：≌．
(2)当点在线段上时．探究四边形是怎样特殊的四边形？并写出证明过程．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
《第十五章 轴对称 单元测试》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D C B B B A B
1．B
【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、等边三角形是轴对称图形，该选项不合题意；
、平行四边形不是轴对称图形，该选项符合题意；
、长方形是轴对称图形，该选项不合题意；
、菱形是轴对称图形，该选项不合题意；
故选：．
2．A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，
∴，，
∵，
∴的周长，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查图形的折叠，根据折叠的性质，逆推即可得出结果，判断即可．
【详解】解：由操作方式可知，剩下的图形展开后可得到：
故选D．
4．D
【分析】根据关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，列式计算求解即可．
【详解】因为点与点关于y轴对称，
所以，
①+②，得，
故选D．
【点睛】本题考查了点的对称问题，熟练掌握点关于y轴对称，纵不变，横相反是解题的关键．
5．C
【分析】根据镜子中看到身后的电子屏内显示的时间与真实的时间是成轴对称的判断即可；
【详解】在镜子中看到身后的电子屏内显示的时间是，那么真实时间是；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，准确分析是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了弧长公式、解直角三角形、折叠的性质、垂径定理，作于点，交于点，连接、，由折叠的性质得出，，解直角三角形得出，从而求出，再由弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：作于点，交于点，连接、，
∴，
∵将半径为8的沿折叠，弧恰好经过圆心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧长为：，
故选：B．
7．B
【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案．
【详解】解：连接AD、DC．
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG=DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA=DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG=DF，DA=DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG=CF，
∵DG=DF，BD=BD，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG=BF．又∵AG=CF，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13，
故选B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．B
【分析】作点A关于x轴的对称点A'（4， 2），作点A关于直线y＝x的对称点A"（2，4），连接A'A''交直线y＝x于点N，交x轴于点M，△AMN的周长的最小值为A'A''的长度．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A'（4， 2），作点A关于直线y＝x的对称点A"（2，4），
连接A'A''交直线y＝x于点N，交x轴于点M，如图，
由轴对称可得AN＝A''N，AM＝A'M，
∴△AMN的周长的最小值为A'A''＝=2，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握轴对称求最小值的方法．
9．A
【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2，
点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-，
∴点A2的坐标是，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是，
∴点A3的坐标是，
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-，
∴点A4的坐标是，
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n的坐标是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是解题的关键．
10．B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
11．垂直平分
【分析】直接利用轴对称的性质求解．
【详解】解：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分．
故答案为：垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
12．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
【分析】连接BD，AD，根据垂直平分线的判定即可解答；
【详解】解：如图，连接BD，AD，
∵AC=AD，BC=BD，
根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A，B一定在线段CD的垂直平分线上；
故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
13．-1
【分析】利用关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列二元一次方程则，解方程组求出m、n，然后代入代数式计算可得答案．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，，
解得，
∴．
故答案为-1．
【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，解题关键在于掌握轴对称的性质，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，
14． 等边三角形
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，由轴对称可得，，，，即得，，即得为等边三角形；又由轴对称的性质得，，即可得的周长，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与关于对称，与关于对称，
∴，，，，
∴，，
∴为等边三角形；
∵与关于对称，与关于对称，
∴，，
∴的周长，
故答案为：等边三角形；．
15．或
【分析】把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：①，②，③，分别求解即可．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
即点的坐标是，点的坐标是，
点与点关于轴对称，
的坐标是，
分为三种情况：
①当时，
和关于轴对称，
，
，，，
，
和关于轴对称，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
点的坐标是；

②当时，则，
，
，
而根据三角形的外角性质得：，
此种情况不存在；
③当时，则，
即，
设此时的坐标是，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即此时的坐标是．
当为等腰三角形时，点的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
16．见解析
【分析】由题意直接依据轴对称图形的性质先分别作点A、B、C、O关于x轴的对称点A’、B’、C’、O’，进而连接图形即可.
【详解】解：作图如下，
先画出四边形ABCO，进而分别作点A、B、C、O关于x轴的对称点A’、B’、C’、O’，最后连接A’B’、 B’C’、 C’O’、 A’ O’即可.
【点睛】本题考查画轴对称图形，这是一个实践操作活动，可以有效地巩固轴对称与坐标变化之间的关系；同时，也为学生提供了更大的创新空间，有利于学生的个性发展．
17．①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；
（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；
（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．
【详解】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握关于轴对称的图形的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形；
（2）将补成长方形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1，进一步根据进行求解即可．
【详解】（1）解：关于轴对称图形，如图所示，
∴即为所求作．
（2）解：如图所示，将补成矩形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1，
∴，，，，，，
∴，
，
，
，
∴，
即，
∴的面积为．
19．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用边角边证明和全等；
（2）四边形是平行四边形，因为≌，所以可得，进而证明，则可得到，又，所以四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，．
又，，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由得≌，
．
又，
，
∴，
又∵，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
20．（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2），见解析；（2）P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）
【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
【详解】解：（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2），如图，
（2）如图，设P点坐标为（t，0），
，
当OP＝OA时，P点坐标为或；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为或或（4，0）或（2，0）．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，中心对称的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键.

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