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吴江市屯村中学2024-2025学年八年级下学第一次月考数学试卷
一、单选题
1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2．下列说法中，不正确的是( )
A.周长相等的两个等边三角形一定能够重合
B.面积相等的两个圆一定能够重合
C.面积相等的两个正方形一定能够重合
D.周长相等的两个菱形一定能够重合
3．如图,的直径的长度为定值a,和是它的两条切线,与相切于点E,并与,分别相交于点D,C两点,设,,当x,y的值变化时,下列代数式的值不变的是( )
A. B. C. D.
4．有下列条件:①；②；③；④.能确定是直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5．如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，，则为( )
A.3 B.4 C.1 D.2
6．下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②若，则；③若三角形的三边、b、c满足，则该三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等.
其中逆命题是真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．如图，在矩形中，等边三角形的顶点E恰好落在边上，与交于点F.若矩形的面积为12，则的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．将的圆周12等分,点A、B、C是等分点,如图,的度数可能为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9．如图，在菱形中，，，连接，点P为上的动点，连接并延长至点H，使得，连接，则周长的最小值为______ .
10．如图,四边形中,E,F,G,H分别是边、、、的中点.若四边形为菱形,则对角线、应满足条件______.
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，作交的延长线于点E，连接，若，，则________.
12．如图所示,点O是直线上一点,平分,是一条射线,平分.,则______°.
13．如图,在平行四边形中,以点A为圆心,为半径作弧,交于点F,再分别以点B,F为圆心,大于为半径作弧,两弧交于点G,射线交于点E.若,,则的长为______.
14．如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值____.
15．已知平面直角坐标系中,点A、B在动直线(m为常数且)上,,点C是平面内一点,以点O、A、B、C为顶点平行四边形面积的最大值是________.
三、解答题
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．
(1)以y轴为对称轴，将作对称变换得，再以x轴为对称轴，将作对称变换得，画出；
(2)直接写出和的对称中心坐标________；
(3)在所给的网格图中确定一个格点D，使得射线平分，直接写出点D的坐标______．
17．如图，在中，点F是中点，连接并延长交的延长线于点E.求证：.
18．已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
19．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.
(1)下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______；
A.正方形 B.矩形 C.有一个角是的菱形
D.有一个角是的平行四边形 E.有一个角是的平行四边形
(2)在“N字平行四边形”中，，，则_______.
(3)如图，在“N字平行四边形”中，，，点F是边上一点，，与的延长线交于点G，若为“N字平行四边形”，求的值；
(4)如图，在矩形中，点E、F分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”，若，求的值.
20．如图,在中,平分,点E在上,且.
(1)求证：；
(2)若,,求的值.
21．如图，在中，E，F分别是边和上的点，连接，，且.求证：

(1)；
(2).
22．问题发现
(1)小明在解决问题：“如图(1),中,,E为的中点,于点D.求证：.”时,由E为的中点联想到构造三角形的中位线.如图(2),取的中点F,连接,,则是的中位线,则且,从而可得.要证,只需证即可.请你帮助小明完成证明过程.
深入探究
(2)如图(3),中,,,E为的中点,平分,交的延长线于点F,求的长.
拓展应用
(3)如图(4),中,,,将绕点A逆时针旋转得到,连接,E为的中点,连接,请直接写出长度的取值范围.
23．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，是等边三角形，，求平行四边形的面积.
24．(1)【问题呈现】在数学活动课上,王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片,王老师问了小明一个问题：如图1,已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点E、F.求证：四边形是菱形.请你帮小明写出证明过程.
(2)【类比应用】如图2,王老师要求小明将矩形沿直线翻折,使点的对称点与点A重合,点D的对称点为,直线分别交矩形的边、于点E、F,若,,求折痕的长.
(3)【拓展延伸】如图3,王老师要求小明将平行四边形沿直线翻折,使点C的对称点与点A重合,点D的对称点为,直线分别交平行四边形的边、于点E、F,若,,,求四边形的面积.
25．综合与探究
如图，在中，，，P是直线上的一动点，将线段绕点P逆时针旋转得到.
【操作判断】
(1)如图，当点P与点C重合时，连接，根据题意，在图1中画出，图中四边形的形状是________.
【问题探究】
(2)当点与点都不重合时，连接，试猜想与的位置关系，并利用图证明你的猜想.
【拓展延伸】
(3)当点P与点都不重合时，若，，求的长.
26．如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究.其中，且.如果新建的两道墙总长.设生物乐园面积为，的长为.
(1)求S与x的函数关系式.
(2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由；
(3)当x取何值时，才能使生物乐园的面积最大？
参考答案
1．答案：C
解析：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意；
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项符合题意；
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意；
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意可知：
A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一个角都为，故说法正确，不符合题意；
B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意；
C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为，故说法正确，不符合题意；
D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个角对应相等，故说法不正确，符合题意；
故选：D
3．答案：C
解析：如图,过点D作交于F,
,与切于点A、B,是的直径,
,,
又,
,
∴四边形是矩形,
,,
,
,
切于E,、与切于点A、B,
,,则,
在中,由勾股定理得：,
即：,
整理,得：,
∴的值不变,
故选：C.
4．答案：D
解析：A、，是直角三角形，故本选项正确；
B、，则，，，是直角三角形，故本选项正确；
C、，
，是直角三角形，故本选项正确；
D、设，，，则，解得，故，是直角三角形，故本选项正确.
故选:D.
5．答案：D
解析：∵，于点M，
∴，
∵N是的中点，
∴；
故选D.
6．答案：B
解析：①平行四边形的对角线互相平分的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故为真命题，
②若，则的逆命题为：若，则，该命题为假命题，
∵若，则或，
③若三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形的斜边满足，该命题为假命题，
∵未明确直角三角形的斜边.
④全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，例如相似三角形.
综上：只有①的逆命题是真命题，
故选：B
7．答案：B
解析：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
8．答案：D
解析：将的圆周12等分,则每一等分的度数为,
∵点A、B、C是等分点,
∴
又是的一个外角,
∴,即,
所以,满足条件的是选项D,
故选：D.
9．答案：/
解析：连接并延长至点F，使，记与的交点为O，连接，连接，连接，点D作直线l垂直，则： 直线l是线段的垂直平分线，
∵菱形中，
∴，，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴点H在直线l上，
∴，
∵是定长，
∴周长的最小值为，
∴当点H在时，的周长最小，为，
∵在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值为，
故答案为：.
10．答案：
解析：应满足的条件为：.
证明：∵E,F,G,H分别是边、、、的中点,
∴在中,为的中位线,所以且；
同理且,同理可得,
则且,
∴四边形为平行四边形,又,所以,
∴四边形为菱形.
故答案为：.
11．答案：
解析：，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：.
12．答案：
解析：∵点O是直线上一点,平分,
∴,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
故答案为：.
13．答案：
解析：如图,连接,设交于点O,
由作图可知：,平分,
,,,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形,
,
在中,,,
,
.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，设，交于点D，过点D作于点E，连接
四边形是平行四边形，
，，
∵点D是的中点，为定点，
∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小，
即当重合时，最小，
∴
，
∴，
∵，即，
∴，
，
∴，
.
故答案为：
15．答案：30
解析:直线,
AB过定点,
,
作于H,
,
,
即的最大面积是15,
以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积是面积的2倍,
以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是30.
故答案为:30.
16．答案：(1)见解析 (2)
(3)或或或
解析：、如下图所示：
根据图象得和的对称中心坐标为，
故答案为：；
如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线平分，
经过点，
设直线的解析式为，
代入得：，解得，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴点D的坐标为或或或．
17．答案：见解析
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点F是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
18．答案：(1)见解析 (2)见解析
解析：因为，，
所以，，
所以，
因，，
所以，
所以，即．
(2)解析：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以m，n至少有一个为奇数．
19．答案：(1)C
(2)
(3)
(4)或
解析： A.正方形的对角线为边长的倍，故不满足；
B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足；
C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足；
D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足；
E.有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足；
故 答 案 为：C；
(2)如图，平行四边形是“N字平行四边形”， ，
，
，
，
，
，
故答案为：；
(3)证明：连接，，
在N字中，，，
，，
，
，
，
由大角对大边可得，，
若为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况
①当时，，
过点F作于点H，
可得点H为的中点，，，
又，
，
，；
②当时，，
此时，，矛盾；
综上，若为N字平行四边形，；
(4)过点E作于点M，过点F作于点N，
四边形为矩形，
，，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
即.
四边形为N字平行四边形，
又，.
有以下两种情况：
①当时，
，
N为的中点，
.
在矩形中，，
又，
，
，
，
；
②当时，
，
M为的中点，
，
设，
则，，.
，
.
，
，
，
，
由可得.
，
.
综上，或.
20．答案：(1)详见解析
(2)
解析：(1)证明：∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
(2)设,则,
∵,
∴,
∴,
∴
∴,
由(1)知：,
∴.
21．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：四边形是平行四边形，
，
又.
四边形是平行四边形.
平行四边形对角相等
(2)四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
.
22．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：取的中点F,连接,.
是的中点,
是的中位线,
且,
,.
,
.
,F为的中点,
,
.
,
,
.
,
；
(2)如图,延长,交于点H.
,平分,
∴,,
又,
∴,
,.
,
.
为的中点,,
；
(3),
如图,由题意知点在以A为圆心,为半径的圆上运动.取的中点F,连接,.
,,
,
.
由旋转的性质可得.
为的中点,F为的中点,
.
在中,,
.
当E在上时,最小,为；当E在的延长线上时,最大,为,
.
23．答案：
解析：四边形是平行四边形，
，.
又是等边三角形，
...
平行四边形是矩形.
在中，由勾股定理，得.
.
24．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∵垂直平分,
∴,,
∴,
∴,
又∵,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴平行四边形是菱形；
(2)如图2,连接,,
∵,,
∴,
∵将矩形沿直线翻折,使点C的对称点与点A重合,
∴垂直平分,
由(1)得：四边形是菱形,
∴,
设,则,
由勾股定理得：,
解得,
∴,
∴,
∴,
∴；
(3)如图3,过点A作,交延长线于点N,
∵将平行四边形沿直线翻折,使点C的对称点与点A重合,
则由(1)可知：四边形是菱形,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
设,则,
∴,
在中,由勾股定理得：,
∴,
解得,
∴,
∴.
25．答案：(1)平行四边形；
(2)，证明见解析；
(3)
解析：如图1，
由旋转得，，，
∵，，
∴， ，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
(2)解析：，证明如下：
如图2，过点P作交于点E，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点P逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
(3)解析：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点P在点A右侧时，如图，
由(2)可知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在点A的左侧时，如图，
同理可得，
∴，
∴；
综上，的长为.
26．答案：(1)
(2)生物乐园面积的面积能不能达到，见解析
(3)当时，生物乐园的面积最大.
解析：由题意可得：的长为，过A作于H.
∵，
∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
∴.
∴，
∴.
∴.
(2)解析：，
整理得：.
，所以方程没有实数解.
即生物乐园面积的面积能不能达到；
(3)解析：由(1)可知：.
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
当时，生物乐园的面积最大，最大值为.

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