资源简介

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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2024-2025学年云南省曲靖市高二下学期期末模拟检测
数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3.某校举行数学竞赛，现将名参赛学生的成绩单位：分整理如下：
成绩
频数
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A. 名学生成绩的极差为分
B. 名学生成绩的中位数大于分
C. 名学生成绩的平均数大于分
D. 名学生中成绩大于分的人数所占比例超过
4.已知椭圆的左、右焦点分别为、，双曲线的上、下焦点分别为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则为( )
A. B. C. D.
6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高某学校社会调查小组通过调查得到如下数据：
年个人消费总额万元
恩格尔系数
若与之间具有线性相关系，老张年个人消费支出总额为万元，据此估计其恩格尔系数为( )
参考数据：；参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
A. B. C. D.
7.某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队选“初心”队的概率为，且“初心”队获胜的概率为选“使命”队的概率为，且“使命”队获胜的概率为，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为( )
A. B. C. D.
8.设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的最小正周期为
B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数在内有个零点
D. 若函数在上单调递减，则
10.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
11.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则下列说法正确的是( )
A. 过、两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
B. 抛物线的准线方程为
C. 不是定值
D. 若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，且，，三点共线，则 ______．
13.的展开式中的系数是______．
14.已知数列，，，，给出下列四个结论：
对任意的，数列是递增数列：
当，时，；
当时，若数列是递增数列，则的范围为；
当，时，．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求的值；
若，求面积的最大值．
16.本小题分
如图所示，为圆的直径，，圆所在的平面，为圆周上与点，均不重合的点，于，为线段上任一点．
求证：平面平面；
已知，为常数，设直线与平面所成角为，当变化时，求的最大值．
17.本小题分
已知曲线在点处的切线方程为．
求实数与的值；
求函数的极值；
方程的解的个数为个求的取值范围．
18.本小题分
年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到元则可参加一次抽奖活动如下：一个不透明的盒子中装有个质地均匀且大小相同的小球，其中个红球，个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取次超市设计了两种抽奖方案．
方案一：若抽到红球则顾客获得元的返金券，若抽到白球则获得元的返金券．
方案二：若抽到红球则顾客获得元的返金券，若抽到白球则未中奖．
现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得元返金券的概率；
若某顾客获得抽奖机会．
试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为．
求椭圆的方程；
设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点．
求点到直线距离的最大值；
设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：复数，
在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由表格可知，名学生成绩的极差可能为，故A错误；
对于，由表格可知，名学生成绩的中位数位于之间，故B错误；
对于，名学生成绩的平均数为，
故C正确；
对于，名学生中成绩大于分的人数所占比例为，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：双曲线的上、下焦点分别为，，可得，四边形是正方形，
可得椭圆的焦距为，椭圆中，则，
所以椭圆的离心率为：．
故选：．
5.【答案】
解：由题意可知，且，
设等比数列的公比为，
则，得，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，
故，
则，所以老张的恩格尔系数为．
故选：．
7.【答案】
【解答】
解：记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该校获胜为事件，
依题意得，，，
，，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以在上是增函数，
因为，所以，即，C正确；
同理可知，B错误；
由，不妨设，，
当时，，此时，，AD错误；
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，时，，的最小正周期为，选项A正确；
对于，时，，
时，取得最小值为，选项B正确；
对于，时，，
解得或，由，得或或，共个零点，选项C错误；
对于，函数，
时，单调递减，且，由单调递减，所以，解得，选项D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，由中位线可得，在正方体中，，所以，
所以，，，四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确；
对于，，故B错误；
对于，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故C正确；
对于，记的中点为，如图所示，
若正方形沿着展在平面，
在中，，则，
若沿着展开到与平面重合，
在中，，，则，
综上，一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：设过点的直线方程为，，，
联立，消去并整得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
此时，
解得，
则为定值，故选项C错误；
此时抛物线方程为，准线方程为，故选项B错误；
因为抛物线的方程为，
即，
可得，
此时，，
所以，
此时直线，垂直，
所以点在以为直径的圆上，故选项A正确；
因为，
解得，
因为直线垂直于直线，
所以直线的方程为，
所以，
则，故选项D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为，，三点共线，则与共线，
，
则，解得．
故答案为：．
由题意可知：与共线，结合向量共线的坐标表示运算求解即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
故的系数是，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：对任意的，可得，即有，可得数列是递增数列，故正确；
当，时，可得，可得数列是单调递增数列，即有，
由，可得与同号，因为，即有，进而，则，故正确；
当时，若数列是递增数列，可得，解得或，
但，解得或，即有不成立，故错误；
当，时，，即有，即，
则，故正确．
故答案为：．
15.【答案】

【解析】由，则，
又，解得，，
．
若，
根据余弦定理可知：，
，
即，当且仅当时，等号成立，
，
当且仅时，面积的最大值为．
16.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：圆所在的平面，，
又为圆的直径且为圆周上与点，均不重合的点，，
，，平面，平面，且，
平面，平面，，
又，且，
平面，平面，平面平面；
过点作的垂线交于点，连接，易得平面，
故直线与平面所成角为，即，，且，
则，，
因圆所在的平面且，
故，
因此，
令且，则，，
故，
因，所以，当且仅当“”时，等号成立，
故，因此的最大值为．
17.【答案】，；
极大值为，极小值为；

【解析】已知，则．
，
所以．
因为曲线在点处的切线方程为，其斜率为，在轴上的截距为，
所以，可得，．
由 知，，
令，可得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以极大值，极小值．
由 可知的单调性和极值情况，
与的图象交点个数为个时，的取值范围是，
即当时，方程的解的个数为个．
18.【答案】；
方案一，方案二； 选择方案一．
【解析】选择方案一，则每一次摸到红球的概率为，
设“每位顾客获得元返金券”为事件，则，
所以两位顾客均获得元返金券的概率，
若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为．
设获得返金券金额为元，则可能的取值为，，，，
则，
，
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为元，
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，
最终获得返金券的金额为元，则，故，
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为元．
即，所以该超市应选择第一种抽奖方案．
19.【答案】； ；．
【解析】解：把代入椭圆方程得，解得，
因为过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为，所以，
又椭圆的离心率为，所以，
解得，，
故椭圆的方程为．
由题意知，，
所以直线的方程为，即，
设平行于，且与椭圆相切于点的直线方程为，
联立，消去得，
所以，解得舍负，
所以平行于，且与椭圆相切于点的直线方程为，即，
该直线与直线之间的距离为，
故点到直线距离的最大值为．
设，，
则直线的方程为，令，则，
直线的方程为，令，则，
所以面积，
设，则，
所以，
而，当且仅当时，等号成立，
所以，
故面积的最大值为．
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