云南省曲靖市2024-2025学年高二下学期期末模拟检测数学试卷(含解析)

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云南省曲靖市2024-2025学年高二下学期期末模拟检测数学试卷(含解析)

资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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2024-2025学年云南省曲靖市高二下学期期末模拟检测
数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.在复平面内,复数为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3.某校举行数学竞赛,现将名参赛学生的成绩单位:分整理如下:
成绩
频数
根据表中数据,下列结论正确的是( )
A. 名学生成绩的极差为分
B. 名学生成绩的中位数大于分
C. 名学生成绩的平均数大于分
D. 名学生中成绩大于分的人数所占比例超过
4.已知椭圆的左、右焦点分别为、,双曲线的上、下焦点分别为,,若四边形是正方形,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则为( )
A. B. C. D.
6.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值,恩格尔系数越小,消费结构越完善,生活水平越高某学校社会调查小组通过调查得到如下数据:
年个人消费总额万元
恩格尔系数
若与之间具有线性相关系,老张年个人消费支出总额为万元,据此估计其恩格尔系数为( )
参考数据:;参考公式:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
A. B. C. D.
7.某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使命”两支预备队选“初心”队的概率为,且“初心”队获胜的概率为选“使命”队的概率为,且“使命”队获胜的概率为,则该校在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为( )
A. B. C. D.
8.设是函数定义在上的导函数,满足,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 当时,函数的最小正周期为
B. 当时,函数的最小值为
C. 当时,函数在内有个零点
D. 若函数在上单调递减,则
10.如图,正方体的棱长为,,分别是,的中点,点是底面内一动点,则下列结论正确的为( )
A. 过,,三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
11.过抛物线:的焦点的直线交抛物线于,两点,若,则下列说法正确的是( )
A. 过、两点作抛物线的切线,两切线交于点,则点在以为直径的圆上
B. 抛物线的准线方程为
C. 不是定值
D. 若过点且与直线垂直的直线交抛物线于,两点,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若向量,,且,,三点共线,则 ______.
13.的展开式中的系数是______.
14.已知数列,,,,给出下列四个结论:
对任意的,数列是递增数列:
当,时,;
当时,若数列是递增数列,则的范围为;
当,时,.
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中,.
求的值;
若,求面积的最大值.
16.本小题分
如图所示,为圆的直径,,圆所在的平面,为圆周上与点,均不重合的点,于,为线段上任一点.
求证:平面平面;
已知,为常数,设直线与平面所成角为,当变化时,求的最大值.
17.本小题分
已知曲线在点处的切线方程为.
求实数与的值;
求函数的极值;
方程的解的个数为个求的取值范围.
18.本小题分
年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到元则可参加一次抽奖活动如下:一个不透明的盒子中装有个质地均匀且大小相同的小球,其中个红球,个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,且顾客有放回地抽取次超市设计了两种抽奖方案.
方案一:若抽到红球则顾客获得元的返金券,若抽到白球则获得元的返金券.
方案二:若抽到红球则顾客获得元的返金券,若抽到白球则未中奖.
现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得元返金券的概率;
若某顾客获得抽奖机会.
试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?
19.本小题分
已知椭圆:的离心率为,过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为.
求椭圆的方程;
设点为椭圆上位于第一象限内一动点,,分别为椭圆的左顶点和下顶点.
求点到直线距离的最大值;
设直线与轴交于点,直线与轴交于点,求面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合,,
则.
故选:.
2.【答案】
【解析】解:复数,
在复平面内对应的点为,位于第一象限.
故选:.
3.【答案】
【解析】解:由表格可知,名学生成绩的极差可能为,故A错误;
对于,由表格可知,名学生成绩的中位数位于之间,故B错误;
对于,名学生成绩的平均数为,
故C正确;
对于,名学生中成绩大于分的人数所占比例为,故D错误.
故选:.
4.【答案】
【解析】解:双曲线的上、下焦点分别为,,可得,四边形是正方形,
可得椭圆的焦距为,椭圆中,则,
所以椭圆的离心率为:.
故选:.
5.【答案】
解:由题意可知,且,
设等比数列的公比为,
则,得,

故选:.
6.【答案】
【解析】解:,,
故,
则,所以老张的恩格尔系数为.
故选:.
7.【答案】
【解答】
解:记选“初心”队为事件,选“使命”队为事件,该校获胜为事件,
依题意得,,,
,,


故选:.
8.【答案】
【解析】解:因为,
所以在上是增函数,
因为,所以,即,C正确;
同理可知,B错误;
由,不妨设,,
当时,,此时,,AD错误;
故选:.
9.【答案】
【解析】解:对于,时,,的最小正周期为,选项A正确;
对于,时,,
时,取得最小值为,选项B正确;
对于,时,,
解得或,由,得或或,共个零点,选项C错误;
对于,函数,
时,单调递减,且,由单调递减,所以,解得,选项D错误.
故选:.
10.【答案】
【解析】解:对于,由中位线可得,在正方体中,,所以,
所以,,,四点共面,又因为,所以截面为梯形,故A正确;
对于,,故B错误;
对于,三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球,半径,
所以表面积,故C正确;
对于,记的中点为,如图所示,
若正方形沿着展在平面,
在中,,则,
若沿着展开到与平面重合,
在中,,,则,
综上,一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为,故D正确.
故选:.
11.【答案】
【解析】解:设过点的直线方程为,,,
联立,消去并整得,
由韦达定理得,
因为,
所以,
此时,
解得,
则为定值,故选项C错误;
此时抛物线方程为,准线方程为,故选项B错误;
因为抛物线的方程为,
即,
可得,
此时,,
所以,
此时直线,垂直,
所以点在以为直径的圆上,故选项A正确;
因为,
解得,
因为直线垂直于直线,
所以直线的方程为,
所以,
则,故选项D正确.
故选:.
12.【答案】
【解析】解:因为,,三点共线,则与共线,

则,解得.
故答案为:.
由题意可知:与共线,结合向量共线的坐标表示运算求解即可.
本题主要考查向量共线的性质,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:,
故的系数是,
故答案为:.
14.【答案】
【解析】解:对任意的,可得,即有,可得数列是递增数列,故正确;
当,时,可得,可得数列是单调递增数列,即有,
由,可得与同号,因为,即有,进而,则,故正确;
当时,若数列是递增数列,可得,解得或,
但,解得或,即有不成立,故错误;
当,时,,即有,即,
则,故正确.
故答案为:.
15.【答案】

【解析】由,则,
又,解得,,

若,
根据余弦定理可知:,

即,当且仅当时,等号成立,

当且仅时,面积的最大值为.
16.【答案】证明见解析;

【解析】证明:圆所在的平面,,
又为圆的直径且为圆周上与点,均不重合的点,,
,,平面,平面,且,
平面,平面,,
又,且,
平面,平面,平面平面;
过点作的垂线交于点,连接,易得平面,
故直线与平面所成角为,即,,且,
则,,
因圆所在的平面且,
故,
因此,
令且,则,,
故,
因,所以,当且仅当“”时,等号成立,
故,因此的最大值为.
17.【答案】,;
极大值为,极小值为;

【解析】已知,则.

所以.
因为曲线在点处的切线方程为,其斜率为,在轴上的截距为,
所以,可得,.
由 知,,
令,可得或.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以极大值,极小值.
由 可知的单调性和极值情况,
与的图象交点个数为个时,的取值范围是,
即当时,方程的解的个数为个.
18.【答案】;
方案一,方案二; 选择方案一.
【解析】选择方案一,则每一次摸到红球的概率为,
设“每位顾客获得元返金券”为事件,则,
所以两位顾客均获得元返金券的概率,
若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.
设获得返金券金额为元,则可能的取值为,,,,
则,

所以该顾客获得返金券金额的数学期望为元,
若选择抽奖方案二,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为,
最终获得返金券的金额为元,则,故,
所以该顾客获得返金券金额的数学期望为元.
即,所以该超市应选择第一种抽奖方案.
19.【答案】; ;.
【解析】解:把代入椭圆方程得,解得,
因为过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为,所以,
又椭圆的离心率为,所以,
解得,,
故椭圆的方程为.
由题意知,,
所以直线的方程为,即,
设平行于,且与椭圆相切于点的直线方程为,
联立,消去得,
所以,解得舍负,
所以平行于,且与椭圆相切于点的直线方程为,即,
该直线与直线之间的距离为,
故点到直线距离的最大值为.
设,,
则直线的方程为,令,则,
直线的方程为,令,则,
所以面积,
设,则,
所以,
而,当且仅当时,等号成立,
所以,
故面积的最大值为.
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