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数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C D C A AD AD
题号 11
答案 ACD
二、填空题：12
15．【详解】（1）函数的定义域为，又，
由，解得或；由，解得.故函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，所以，所以函数在上的值域为.
16．【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得：，，
则，
， 所以
所以变量与的线性相关程度很强.
由（1）可得，，，又由， 所以，则， 可得关于的线性回归方程为
令，可得，
即年两国的交易额交易额百亿元.
17．【详解】（1）因为， 所以，
对上式两边同时取倒数有：所以，又因为，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，所以，
所以，
18.【小问1详解】由题意，小王答对题目个数.
，， ， ，
故的分布列为
0 1 2 3
【小问2详解】（i）由题意知，
题意知令得或（舍），
令得， 令得
∴在内单调递增，在内单调递减.
∴当时，取得极大值，极大值为.
（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则可能得取值为目个数.
， ， ，，
∴，
∴ 即 整理得
经观察可知 是方程的根..
故，
因为恒成立.所以由，可得，解得，
又因为，所以的取值范围为.
19. 【小问1详解】∵，∴.而，.∴函数在处的切线方程为.
【小问2详解】∵恒成立，，
令，则，所以当时，等价于恒成立.
由于，，
（i）当时，，函数在上单调递增，所以，在区间上恒成立，符合题意；
（ii）当时，在上单调递增，.
①当，即时，，函数在上单调递增，
所以在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，，
若，即时，在上恒小于0，
则上单调递减，，不符合题意；
若，即时，存在，使得，
所以当时，，则在上单调递减，则，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】当时，， 所以，则，令，得；令，得；
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∵，
要证，即证，又，，即证，
令，则，
∴在上为减函数，且，
因为，又，∴，∴，则，
∴，即，∴成立，
原式得证射洪中学高2023级强基班高二下期期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．16 B．17 C．20 D．21
3．从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若有2名女生和4名男生到“成都旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ）
A．16 B．20 C．28 D．40
6．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ）
A．是的极值点
B．在区间上单调递增
C．是在区间上的最小值点
D．曲线在点处的切线斜率小于零
8．若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
患病 未患病
服用药 10 45
没服用药 20 30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）
附：；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C．该药物的预防有效率超过
D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为
D．过可以作两条直线与的图象相切
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在前n项和为的等差数列中，，，则 .
13．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答）
14．设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)求函数在上的值域．
▲
16．随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y 9 12 17 21 26
(1)统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据：；
参考公式：；回归方程，，.
▲
17．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
(2)记，求数列的前n项和.
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18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛.
（1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列；
（2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围.
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19. 已知函数，.
（1）求在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，，数列满足，且，证明：.
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