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2024~2025 学年度第二学期淮安市期末调研测试
高二数学参考答案 2025.6
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1、C 2、A 3、D 4、A 5、B 6、C 7、D 8、B
二、多项选择题:本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错得 0分.
9、AC 10、ACD 11、ABD
三、填空题:本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1 4 4 17212、 13、 14、 ，
9 81
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）当m 2时，令 x 1时，则
f (x)的二项展开式中各项系数的和为 256 ...........................................................5分
（2）因为 f (x)的二项展开式的第 r 1项，
T r m 4 r r r 4 r r 2r 4r 1 C4 ( ) (2x) 2 m C4 x ...........................................................8分x
因为 f (x)的二项展开式中常数项为 24
所以 2r 4 0，即 r 2 ........................................................................................10分
又因为 22 m2C 24 24，
所以m2 1，............................................................................................................12分
即m 1....................................................................................................................13分
16.（15分）
P 18 3（1） .................................................................................................................6分
24 4
（2）H0 :假设主场作战与比赛胜负与主场没有关联......................................................8分
2 50 (6 7 18 19)
2 150
11.538 10.828 ...................................................12分
25 26 24 25 13
根据小概率值 0.001的独立性检验，认为主场作战与比赛胜负与主场有关联.....15分
17.（15分）
解：（1） f (x)定义域为 R
因为 f (x)为奇函数，所以 f (x) f ( x) 0
当 x 0时， f (0) f ( 0) 0，所以 f (0) 0 a ，故1 0 0，a 2 ............................3分4 1
f (x) 1 2
4x 1
经检验，满足条件，故 a 2 ......................................................................................................4分
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（2）因为 4x 0，所以 4x 1 1 1， 0 1，
4x 1
0 2 2 x 2， 1 1 x 1 ...................................................................................7分4 1 4 1
所以函数 f (x)的值域 1,1 ...............................................................................................8分
（3）因为 y 4x为增函数，
1
所以 y 4x 1为增函数，y x 为减函数，所以 f (x)为增函数.....................10分4 1
令 f (x) t，则 g(t) 0 .
由（2）可知，当 t 1，1 时， f (x) t仅一根，.....................................................11分
所以 g(t) 0在 1，1 上有两不等根............................................................................12分
0
b2
1,1
4 ,
g( 1) 0

g(1) 0
所以 b 0，1 ...........................................................................................................15分
18．（17 分）
（1）取 BC的中点M ，连接 EM
因为 E 、 F 分别为棱 PC ， AD的中点
所以 EM // PB， FM // AB
因为 EM 面 PAB ， PB 面 PAB
所以 EM //面 PAB ....................2 分
同理 FM //面 PAB
因为 EM FM M ， EM ,FM 面 EFM
所以面 PAB //面 EFM ..................4 分
又因为 EF 面 EFM
所以 EF //面 PAB .......................5 分
（建系，利用坐标化证明同样给分）
（2）由题意中 AD CD， PD 平面ABCD
得DA，DC，DP两两垂直
以 DA,DC,DP 为正交基底建立空间直角坐标系 D xyz
.........................................6 分
则因为 AB PD AD 1 CD 2
2
所以 P(0,0,2)， A(2,0,0)，C(0,4,0)， B(2,2,0)
所以 PD (0,0, 2)， BC ( 2,2,0)， PB (2,2, 2) ...........7 分
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设平面 PBC 的一个法向量 n (x, y, z)，则
n BC 0 2x 2y 0

n PB 0 2x 2y 2z 0
不妨设 x 1，则 y 1， z 2
即： n (1,1,2) ...........................9 分
设 PD与平面 PBC 所成角为 ，则
n PD
sin cos n,PD 6
n PD 3
PD PBC 6所以 与平面 所成角的正弦值为 ．.................11 分
3
（3）法一：设点 F到平面 EGC（也即平面 PBC）的距离为 h，三棱锥C EFG体积为V ( )．
VC EFG VF EGC．...................................12 分
由（2）可知平面 PBC 的一个法向量 n (1,1,2)，
n DC
点D 2 6到平面 PBC 距离 hD PBC
n 3
DF
因为 ( (0,1))，
DA
F PBC h (1 ) 2 6所以点 到平面 距离 F PBC ................13 分2 3
不难得到 PB 2 3 ， PC 2 5 ， BC 2 2
所以 PC 2 PB2 BC 2，即△PBC为直角三角形
所以 S PBC 2 6
2 3 2 2 2 6
所以点 B到棱 PC的距离为
2 5 5
又 PG PE
PB PC
EC 2 5(1 ) 2 6，且点 G到边 EC的距离为 ................14 分
5
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△EGC 1的面积为 2 5(1 ) 2 6 2 6 (1 )．
2 5
V ( ) V 1 4 2 4 F EGC 2 6 (1 ) ( 1)( 2)，其中 (0,1)．3 6 3
V ( ) 4 ( 3 3 2 4 2 ) V ( ) (3 2 6 2)
3 3
4
令V ( ) (3 2 6 2) 0 3 3可得
3 3 ，列表如下：
(0, 3 3 ) 3 3 (3 3，1)
3 3 3
V ( ) + 0 -
V ( ) 递增 极大值（最大值） 递减
3 3答：当 取何值时，三棱锥C EFG体积取得最大．..........17 分
3
1
法二：由等积法可知VF EFG (1 )VF PBC (1 ) VP FBC (1 ) S3 FBC
PD
(1 )(2 ) 4
3
设V ( ) V 4F EGC ( 1)( 2)则其余同上3
19．解：（1）根据“ 数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：
数组 A中不存在这样的数，所以数组 A不是“ 数组”； ……………………2分
数组 B中有且仅有 7满足题意，数组 B是“ 数组”，它的“核”为 7． …………5分
（2）设数组 C是“ 数组”为事件 M，数组 C的“核”是 4为事件 N．
若 3 2数组 C是“ 数组”时，可设它的“核”为 k，因为 C的每行有 2个元素，每
列有 3个元素，且 c[i, j] {1,2,3,4,5,6}，则3 k 5．
当 k 3时，此时“ 数组”的个数为：6 A1 A2 23 2 A2 72
当 k 4时，此时“ 数组”的个数为：6 A1 A2 22 3 A2 144
当 k 5时，此时“ 数组”的个数为：6 A1 21 A4 A
2
2 144 ………………8分
假设一个 3 2“ 数组”C中同时存在两不同个“核” 1和 2．
若 1和 2处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有 1 2 ，这与 1和 2不同矛
盾；
若 1和 2不同行也不同列时，不妨设 1 a[i, j]， 2 a[r , s]，
{#{QQABJQy1xwiQ0AZACA7aRU3qCQkQsJEQLYoOQQAeOARDyAFIBAA=}#}
根据定义可得： 1 a[i, j] a[i, s] a[r , s] 2 ， 2 a[r , s] a[r , j] a[i, j] 1 ，
所以 1 2 ，同样产生矛盾，所以“ 数组”的“核”是唯一的． ……………10分
所以 P(N |M ) n(N ) 144 2 ．
n(M ) 72 144 144 5
2
答：C是“ 数组”的概率为 ． ………………………………………………11分
5
（3）根据题意 X的可能取值为 n，n+1，n+2，…，n2 n，n2 n 1（共 (n 1)2 1个
取值）
当 X=n 2时，此时“ 数组”的个数为： n2 An 1 An 1 A(n 1)
n2 n n 1 (n 1)2
当 X=n+1时，此时“ 数组”的个数为： n2 An 1 An 1 (n 1)
2
n2 n 1 n
A
(n 1)2
当 X=n+2 2时，此时“ 数组”的个数为： n2 An 1 An 1 A(n 1)
n2 n 2 n 1 (n 1)2
… … … … … … … … …
当 X= n2 2 n时，此时“ 数组”的个数为： n2 An 1 An 1 A(n 1)n n2 n 1 (n 1)2
当 X= n2 n 1时，此时“ 数组”的个数为： n2 An 1 An 1 A(n 1)
2
n 1 n2 n (n 1)2
n2 n
由这些计数无重复，故 M的元素个数为 n(M ) n2 (n 1)2 ! (An 1 n 1 13分n2 Ai ) i 1
i n 1
注意到以上计数具有对称性，即：
2
n2 An 12 An 1 A(n 1)2
P(x n) P(x n 1 n2 n 1) n n (n 1) ，
n(M )
n2 An 1 An 1 (n 1)
2
2
P(x n 1) P(x n2 n) n n 1 n
A 2
(n 1) ，
n(M )
…… ……
所以利用“倒序相加”法我们有：
E(X ) nP(X n) (n 1)P(X n 1) ... (n2 n)P(X n2 n) (n2 n 1)P(X n2 n 1)
E(X ) (n2 n 1)P(X n2 n 1) (n2 n)P(X n2 n) ... (n 1)P(X n 1) nP(X n)
2E(X ) (n2 1)P(X n) (n2 1)P(X n 1) ... (n2 1)P(X n2 n) (n2 1)P(X n2 n 1)
(n2 1) P(X n) P(X n 1) ... P(X n2 n) P(X n2 n 1) (n2 1)．
2
所以 E(X ) n 1 ． ………………………………………………………………17分
2
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