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嘉兴市2024~2025学年第二学期期末检测
高一数学试题卷
（2025.6）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 在中，，记，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
6. 一个盒子中装有标号为的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（ ）
A. B.
C. 与互斥 D. 与相互独立
7. 在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 记的内角的对边分别为，已知的面积为20，且，点在其内部，满足的面积之比为.若，则（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据，其中，则（ ）
A. 该组数据的中位数为2.5
B. 该组数据的极差大于1
C. 该组数据的平均数等于的平均数
D. 该组数据方差不小于的方差
10. 记的内角的对边分别为，点是边上的一个动点，点是边的中点，且，则（ ）
A.
B. 若的面积为，则
C. 若平分，则
D. 若，当最大时，
11. 已知正方体的棱长为分别是的中点，过作平面，记平面平面，且截正方体所得截面多边形为，则（ ）
A. 若平面，则与平面所成的角为
B. 若平面，则与所成的角为
C. 若，则的周长为
D. 若，以为顶点，为底面几何体的外接球的表面积为
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数，则__________.
13. 记的内角的对边分别为，已知，则__________.
14. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角的余弦值.
16. 如图，平面四边形中，是边长为2等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.
17. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率.
18. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求；
（2）若是的中点，且，求；
（3）若，求的面积.
19. 我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
（1）已知一个半径为的半球（如图①），以及一个底面半径和高都等于的圆柱（如图②），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，试用祖暅原理求新几何体的体积.
（2）已知正方体的棱长为为空间内一点，满足，记点的轨迹所围成的空间几何体为.
（i）求平面截空间几何体所得截面的面积；
（ii）若平面把空间几何体分成两个部分，求较小部分的体积.
嘉兴市2024~2025学年第二学期期末检测
高一数学试题卷
（2025.6）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BCD
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四 解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）或；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【17题答案】
【答案】（1），平均值为1.73；
（2）.
【18题答案】
【答案】（1）或；
（2）；
（3）.
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）.

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