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七宝中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取 个学生．
2．已知，则 ．
3．已知事件与事件相互独立，且，则 ．
4．已知在处可导，若，则 ．
5．的二项展开式中，的系数是 ．
6．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为 .
7．将6名志愿者安排到5个小区进行垃圾分类宣传，若每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种.（结果用数表示）
8．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ．
9．设，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
10．若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-128，则实数 ．
11．已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是 ．（用最简分数表示）
12．设，，
当时，定义的差分运算为.
用表示对进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.则中深度为的数组个数为 个.（用含的代数式表示）
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13，14题4分，15,16题5分.
13．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）.
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
14．＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）.
A．关于直线对称 B．关于点成中心对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
16．设函数为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表.
（1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率；
（2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率。
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数，
（1）若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围；
（2）若的定义域是
（i）求的严格增区间；
（ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式.
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立.
（1）为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据
下述列联表，判断是否有的把握认为＂仪器可靠＂与＂某零件A达优等＂有关？
仪器可靠 仪器不可靠 合计
零件A达优等 41 4 45
零件A未达优等 2 3 5
合计 43 7 50
附：；
（2）若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差；
（3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图像是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图像是曲线.
（1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）；
（2）若当时，双曲余弦函数的图像曲线终在直线上方，求实数的取值范围；
（3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，
使，且任意．
七宝中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取 个学生．
【答案】18
2．已知，则 ．
【答案】
3．已知事件与事件相互独立，且，则 ．
【答案】0.7
4．已知在处可导，若，则 ．
【答案】2
5．的二项展开式中，的系数是 ．
【答案】
6．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为 .
【答案】36
7．将6名志愿者安排到5个小区进行垃圾分类宣传，若每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种.（结果用数表示）
【答案】1800
8．若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ．
【答案】
9．设，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
当且仅当时等号成立，故.
10．若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-128，则实数 ．
【答案】
【解析】设，
令，令，
故，即.
11．已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是 ．（用最简分数表示）
【答案】
【解析】取最大值，即方差最大，应尽可能多取1和10，
假设这组数中有个1，则有个10，有，解得，
此时，取45个10，55个1，和为505，
取44个10，55个1,1个5，和为500，满足题意，
设从中任取两个数，和为，则
两数和不大于10，即．
12．设，，
当时，定义的差分运算为.
用表示对进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.则中深度为的数组个数为 个.（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】易知中仅有一组；中深度的数组有1组；
中深度的数组有2组，为和，，不难发现，下层中的1可认为由上层中的和生成，0由和生成，
故对每个满足条件的下层数组，上层中都有完全相反的两个与之对应，
如对应（）和（）；
中深度的数组有4组，如（）对应（）和（）；对应（）和（）共4个；依此类推中深度的数组仅组.
因为定义不存在时，深度为中，最后一次差分运算后，结果为，则视为不存在，可知中深度为2的数组为两个，中深度为3的数组为共个，依此类推，中深度为的数列有个.
综上，中深度为的数组有组.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13，14题4分，15,16题5分.
13．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）.
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
【答案】B
14．＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】驻点不一定是极值点，如，极值点也不一定是驻点，
如.
15．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）.
A．关于直线对称 B．关于点成中心对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
【答案】B
【解析】由连续型随机变量服从正态分布，可得，可得，
所以正态密度曲线关于对称，即，
由，概率随增大而增大，严格增，所以无对称轴，故A错误；
所以关于点成中心对称，故B正确，CD错误.
16．设函数为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】作的图像：
当，由函数图像知，即，
当，由函数图像知，即，
对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立；
对命题（2），若，当时，与的图像仅一个交点，
若，当时，取，此时与的图像仅一个交点，
若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题；对命题（3），由图知，对固定的实数，若，则，若，则，由于的图像在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题；
对命题（4），由图像知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立，故选B．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），
所以，2分
当时，，4分
∴
（2）∵，
①若，则，解得；8分
②若，要使，则
应满足,即,解得，12分
综上所述，实数的取值范围是14分
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表.
（1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率；
（2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，
＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则
故分
（2）（i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表，可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率，故.
（或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点，满足条件的有6个，故）．．．．．10分
（ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表，可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，
故.（或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2
男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个，故）．．14分
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数，
（1）若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围；
（2）若的定义域是
（i）求的严格增区间；
（ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式.
【答案】（1）
（2）（i）增区间是和 （ii）
【解析】（1）定义域为R，关于原点对称，
对任意恒成立，故，得.2分
即，得，
易得，因为在严格增，分故，即，即，解得分
（2），8分
，，当时，，
所以的严格增区间是和，10分
在处取极小值，
①，即时，，故分
②，即时，．
综上，14分
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立.
（1）为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据
下述列联表，判断是否有的把握认为＂仪器可靠＂与＂某零件A达优等＂有关？
仪器可靠 仪器不可靠 合计
零件A达优等 41 4 45
零件A未达优等 2 3 5
合计 43 7 50
附：；
（2）若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差；
（3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由.
【答案】（1）无关 （2）分布列如下： （3）会超过预算
【解析】（1）提出原假设：＂仪器可靠＂与＂某零件A达优等＂无关．1分
确定显著性水平，计算2分
统计决断：由，而，否定原假设，
故有把握判定＂仪器可靠性＂与＂某零件A达优等＂有关4分
（2）题意知的所有可能取值为，且服从参数为的二项分布，
所以
，故的分布列为：8分
从而.10分
（2）每台仪器所需费为元，则的可能取值为100，400.
，
．12分
所以，
化简得，14分
令，解得，
当在严格增，
当在严格减，16分
所以当时，的最大值为．
故实施此方案，最高费用为元元，可能会超过预算.18分
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图像是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图像是曲线.
（1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）；
（2）若当时，双曲余弦函数的图像曲线终在直线上方，求实数的取值范围；
（3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，
使，且任意．
【答案】（1）见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）①，2分 ②；4分
（2）即当时，恒成立，故，.6分
令，
由，即，解得（负值舍去），
当严格减，当严格增，
故，
所以分
（3）由题可知：，，
则，则，
同理，联立求得，.12分
此时，
;
同理，求得，
则，14分
当时，记，
，，
当时，，即在严格减，
当时，，即在严格增，
易得，故存在，使，
此时，在严格减，在严格增，
又，故，在严格增，在严格减，
故存在两个不同的，使．．．．．．．．．．．．16分
因为，即，
此时
，当且仅当时取等，
因为，故对任意．

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