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北郊中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第1-6题每题3分,第7-12题每题4分）
1．计算 ．
2．已知向量，若，则 ．
3．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ．
4．已知数列为正整数，则 ．
5．已知向量，则在上的投影向量为 ．（用坐标形式表示）
6．已知角终边上一点，则 ．
7．已知复数是关于的方程的一个根，则 ．
8．已知数列满足，且为正整数，则 ．
9．已知函数在上单调递增，且其图像关于点对称，则 ．
10．已知复数，若，则实数的取值范围为 ．
11．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 小时．
12．已知6个边长均为2的正六边形摆放如图所示位置，是这6个正六边形内部（包括边界）的动点，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）.
13．在中，若，则的形状是（ ）.
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
14．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（ ）.
A．； B．
C．； D．
15．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）.
A．0 B． C．1 D．2
16．若无穷数列满足：，其中为正整数，则称为＂均值递减数列＂．有如下两个命题；
（1）已知无穷数列的前项和为，若为＂均值递减数列＂，则；
（2）若两个正项数列和均为＂均值递减数列＂，则数列也为＂均值递减数列＂．则下列选项中正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题； B．（1）是真命题，（2）是假命题；
C．（1）是假命题，（2）是真命题； D．（1）是假命题，（2）是假命题．
三、解答题（本大题共有4题，满分44分）．
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
在等差数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
18．（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知，i是虚数单位，在复平面上对应的点分别为．
（1）若是实数，求的最小值；
（2）设为坐标原点，记，若，且点在轴上，求与的夹角.
19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）
已知向量，设函数．
（1）求函数的最小正周期：
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围．
20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
设数列的前项和为，若，则称具有＂性质M＂．
（1）已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围；
（2）已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有＂性质，并说明理由；
（3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.;
8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 小时．
【答案】
【解析】检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，
则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为．故选：B．
二、选择题
13.A 14.C 15.D 16.A
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
设数列的前项和为，若，则称具有＂性质M＂．
（1）已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围；
（2）已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有＂性质，并说明理由；
（3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围.
【答案】（1） （2）具有 （3）
【解析】（2）由题设，有，分别用和，可解得
所以，故是否具有＂性质
（3）由数列是公比为的等比数列，得，
因为是＂紧密数列＂，所以，
①当时，，
因为，所以时，数列为＂紧密数列＂，故满足题意．
②当时，，则．
因为数列为＂紧密数列＂，所以，对任意恒成立.
（i）当时，，
即，对任意恒成立．
因为，
所以
所以当时，，对任意恒成立．
（ii）当时，1），
即，对任意恒成立．
因为，所以，解得，
又，此时不存在．综上所述，的取值范围是．

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