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华东师大二附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.二面角的取值范围是 .
2．如果圆锥的底面圆半径长为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .
3.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是 .
4.已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是 .
5.从名男生和名女生中选出人去比赛，则至少有名女生的选法共 种.
6.已知点满足，则的取值范围是 ．
7.从，，，中任取一个数，记为，再从至取一个整数，记为，则取到的为的概率是________．
8.李老师在整理名学生的成绩时不小心遗失了其中一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，，，，，，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第百分位数，则这名学生的成绩的方差为 .
9.有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则 .
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为，则抛物线的方程为 .
11.如图所示，将一个棋盘中的个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则共有__________种不同的染色方式．
12.等差数列中已知，则当取到最大值时，d= .
二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）
13.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）.
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极小值
14.第届世界大学生夏季运动会将于年月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩单位：分如折线图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C. 甲成绩的极差比乙成绩的极差小
D. 乙的成绩比甲的成绩稳定
15.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）.
A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 甲与丁相互独立
16、已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，. 那么（ ）.
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）（第1小题7分，第2小题7分）
已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求到平面的距离.
18．（本题满分14分）（第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1．
（1）试写出三项式的2次和3次系数列；
（2）类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）；
（3）写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)．
19.（本题满分14分）（第1小题6分，第2小题8分）
某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天
分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”
①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值.
②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关．
锻炼人次 空气质量 人次 人次
空气质量好
空气质量不好
20.（本题满分18分）（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线的一条渐近线为.
(1)求椭圆和双曲线的方程.
(2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点.已知为线段的中点，求点的坐标.
(3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程.
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数图像上存在相异的两点，使得函数在点和点处的切线重合，则称是“双切函数”，点为“双切点”，直线为的“双切线”.
（1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；
（2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；
（3）若，求证：“是‘双切函数’”的充要条件是“”
华东师大二附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.二面角的取值范围是 .
【答案】
2．如果圆锥的底面圆半径长为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
3.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是 .
【答案】
4.已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是_________．(2,1)
【答案】
5.从名男生和名女生中选出人去比赛，则至少有名女生的选法共 种.
【答案】9
6.已知点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
7.从，，，中任取一个数，记为，再从至取一个整数，记为，则取到的为的概率是________________．
【答案】
8.李老师在整理名学生的成绩时不小心遗失了其中一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，，，，，，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第百分位数，则这名学生的成绩的方差为 ．
【答案】
9.有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则 .
【答案】
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为，则抛物线的方程为 .
【答案】
11.如图所示，将一个棋盘中的个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则共有__________种不同的染色方式．
【答案】90
12.等差数列中已知，则当取到最大值时，d= .
【答案】
二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）
13.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）.
A. 在上是增函数
B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值
D. 当时，取得极小值
【答案】D
14.第届世界大学生夏季运动会将于年月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩单位：分如折线图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数小
C. 甲成绩的极差比乙成绩的极差小 D. 乙的成绩比甲的成绩稳定
【答案】D
15.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）.
A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 甲与丁相互独立
【答案】D
16.已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，. 那么（ ）.
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
【答案】A
【解析】设，则，，
故；当时，，
故，从而不可能使得.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）（第1小题7分，第2小题7分）
已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求到平面的距离.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意，，，
所以异面直线与所成角的大小与相等.
，即.
（2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得，
，，，所以，，
设平面的法向量为，则，令，即.
由点到平面的距离公式. 所以到平面的距离.
【注：等积法同样给分】
18．（本题满分14分）（第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1．
（1）试写出三项式的2次和3次系数列；
（2）类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）；
（3）写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)．
【答案】（1）见解析 （2）规律：每一个数等于它上面一行三个数的和
（3）性质：
【解析】（1）1 2 3 2 1 ， 1 3 6 7 6 3 1 ；
（2） 1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1
规律：每一个数等于它上面一行三个数的和
（3）性质：
19.（本题满分14分）（第1小题6分，第2小题8分）
某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天
分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”
①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值.
②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关．
锻炼人次 空气质量 人次 人次
空气质量好
空气质量不好
【答案】（1）350 （2）①②见解析
【解析】由所给数据，该市一天的空气质量等级为，，，的概率的估计值如下表：
空气质量等级
概率的估计值
一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为．
根据所给数据，可得列联表：
锻炼人次 空气质量 人次 人次
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
第一行第一列数据的预期值为.
根据列联表得的观测值．由于，
故有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
20.（本题满分18分）（第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线的一条渐近线为.
(1)求椭圆和双曲线的方程.
(2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点.已知为线段的中点，求点的坐标.
(3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程.
【答案】（1） （2）.
（3） ； ；；
；；
【解析】（1）由题意得：解得：
因此可得：
（2）设点的坐标.由点是线段的中点，可知点的坐标为.
将点、点的坐标分别代入椭圆和双曲线的方程：
由①得 ③，将③代入②得
化简，得
由，得 ④ ，将④代入③得，由，计算得
因此点的坐标为.
（3）设直线的斜率为.
①直线与椭圆有一个交点，与双曲线有两个交点.
此时是椭圆的切线，由切线方程，直线方程为，化简得.
②直线与椭圆有两个交点，与双曲线有一个交点.
将代入双曲线：
化简得
若，若，则等式变为，矛盾.
若，则等式为一元一次方程，此时直线与双曲线有一个交点.
直线的方程为.若，令：
根据之前的计算，可知其中的一个解为；由韦达定理，另一个解为.
此时直线与双曲线相切，直线的方程为.
③直线过椭圆与双曲线的交点.
根据椭圆和双曲线的方程，可知椭圆和双曲线交于点和点.分别代入计算，得到直线方程为或.
综上，直线可能的方程为：；；
；；
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数图像上存在相异的两点，使得函数在点和点处的切线重合，则称是“双切函数”，点为“双切点”，直线为的“双切线”.
（1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；
（2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；
（3）若，求证：“是‘双切函数’”的充要条件是“”
【答案】（1）不是 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）不是， ………… 1分
假设是“双切函数”，设“双切点”为，由得
，故点和点重合，与点矛盾相异，………………4分
（2）由，得，………………5分
故过图像上一点的切线方程为：
即……………… 7分
对于函数图像上相异两点，
如果过该两点的切线方程重合，须满足 ………… 8分
由（1）得，故，代入（2）
得 ………… 9分
存在，使得在点和点处的切线重合，“双切线”为 10分
（3）必要性：
因为是“双切函数”，设点为其一对“双切点”，
函数在处的切线方程为：，
故
即
，因为，故
………………12分
设,，原式即
由（1）可得，代入（2），
得
假设，则，原方程仅有一解，
故
故为方程：的两个相异实根，但是由此一元二次方程的判别式
，即方程要么无实根，要么有两个相等实根，与存在且不等矛盾，故假设不成立，即 ………… 16分
充分性：
若，取，其中
由必要性的证明过程，可得
所以在点和点处的切线重合，且相异，所以是“双切函数”
综上，“是‘双切函数’”的充要条件是“” ………… 18分

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