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同济一附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（共12题，每题3分，满分36分）
1、若复数是纯虚数（为虚数单位），则实数________．
2、函数的最小正周期为________.
3．已知，，且与的夹角为，则________．
4．已知向量，，若，，三点共线，则________．
5．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________．
6、在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为________．．
7．已知函数，若，则________．
8、在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________．
9、已知线段在平面的同侧，、两点到平面的距离分别是1和3，则线段的中点到平面的距离是_______．
10、塔是一种常见的有着特定的形式和风格的中国传统建筑．如图，为测量某塔的总高度，选取与塔底在同一水平面上的两个测量点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为________米．
11、在平面直角坐标系中，单位圆上三点、、满足：点坐标为且，在上的投影向量为，则________．
12、正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________．
二、选择题（共4题，其中13、14每题3分，15、16每题4分，满分14分）
13、设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
14、在空间中，下列命题中正确的是（ ）
A．相交于同一点的三条直线共面 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．垂直同一条直线的两直线平行
15、如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B．
C． D．
16、如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
三、解答题（共5题，满分50分）
17．（本题共8分）
设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值．
18、（本题共8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
如图．在正方体中，是的中点．
（1）求证：直线与是异面直线：
（2）求直线与平面所成角的大小．
19、（本题共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
（1）用，表示，；
（2）如果，，且，求．
20．（本题共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动．
（1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由．
21、（本题共14分，第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）
已知函数．
（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
（2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若过点，设，若对任意的，．都有，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.相交或异面; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11、在平面直角坐标系中，单位圆上三点、、满足：点坐标为且，
在上的投影向量为，则________．
【答案】
【解析】根据题意，由于点坐标为，则为单位圆与轴正半轴的交点，
如图：过点作轴的垂线交轴于一点，
由于在上的投影向量为，则，
又由，设与的夹角为，
即，所以，
又因为，所以，故；
所以，故答案为：．
12、正方形边长为2，是正方形的中心，过点的直线与边相交于点，与边交于点，为平面上一点，对于任意实数都满足．则的最小值为________．
【答案】
【解析】设，可得，
故三点共线，又三点共线，
所以为直线与的交点，
又
可得
又所以
二、选择题
13.A 14.B 15.C 16.B
15、如图，在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则由、、三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，分别取的中点，连接
由且，得是平行四边形，则，
又且，得是平行四边形，得，所以，
则共面，故平面截该正方体所得的截面为．
又正方体的棱长为1，，，故的面积为．故选C.
三、解答题
17.
18.（1）证明略 （2）
19.（1），； （2）
20．（本题共10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动．
（1）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（2）无论点在边的何处，与所成角是否都为定值。若是，求出其大小；若不是，请说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析 （2）是，定值．
【解析】解法一：（1）当点为的中点时，与平面平行．
∵在中，分别为的中点，∴
又平面，而平面平面．
（2）∵平面平面，
又，平面平面，
又平面．又，点是的中点，∴，
又∵，平面平面．∵平面
．即无论点在边的何处，与所成角都是定值．
解法二：（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则，.
设，则
．即与所成角都是定值．
21、（本题共14分，第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）
已知函数．
（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
（2）若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若过点，设，若对任意的，．都有，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）当时，，所以当，
即时，，所以，此时；
（2）因为为偶函数，所以，所以，
所以
又因为在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，且在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以，解得，所以的取值范围为；
（3）因为过点，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以，
又因为对任意的，都有成立，
所以，设，
则有，图象是开口向下、对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，所以，
所以，解得，所以；
当时，在上单调递减，所以，
所以，解得，所以；
当时，；
所以，解得，所以，
综上所述：，所以实数的取值范围为．

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