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向明中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
1．已知全集，集合，则________．
2．已知，则关于的不等式的解集为________．
3．抛物线的焦点坐标是________.
4．已知函数的导函数的图象如下图所示，则函数的极值点的个数有________个
5．若幂函数，在上是严格减函数，则________.
6．已知，则曲线在点处切线的斜率为________.
7．已知两个随机事件，，若，，，则________．
8．已知函数，则的值为________.
9．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是________．
10．已知随机变量服从正态分布，且，，则的最小值为________.
11．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________.
12．已知，，，集合，，若存在无穷多个，使得对任意，有恒成立，则的值为________.
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
13．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）．
A． B． C． D．
14．已知、，则“”是“的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
15．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是
②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是
则下面说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分52分，以下各题需写出必要的解题步骤）
17．（本题共两小题，第1小题5分，第2小题5分，满分10分）
已知圆
（1）若直线，，，经过圆心，求的最大值．
（2）若直线过点（0，4）且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程．
18．（本题共两小题，第1小题4分，第2小题6分，满分10分）
已知，，．
（1）若，，且函数为奇函数，求的值．
（2）若，且存在，使得成立，求的取值范围．
19．（本题共两小题，第1小题5分，第2小题5分，满分10分）
某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有、、、、、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示．
性能评分汽车款式
基础版 基础版1 2 2 3 1 0
基础版2 4 4 5 3 1
豪华版 豪华版１ 1 3 5 4 1
豪华版2 0 0 3 5 3
（1）约定当得分为或时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由．
汽车性能 汽车款式 合计
基础版 豪华版
一般 20
优秀 13
合计
（2）为进一步提升产品品质，现从样本评分为的6位基础版车主中，有放回地随机抽取2人征求意见，并做进一步打分。若基础版1的车主会打1分，而基础版2的车主会打4分，设随机变量为总得分，求的方差．
附：；，
，，．
20．（本题共两小题，第1小题5分，第2小题6分，满分11分）
已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
（1）若，为等于三角形，且点在第一象限，求点的坐标．
（2）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．
21．（本题共两小题，第1小题5分，第2小题6分，满分11分）
设、是定义域为的函数，当时，
．
（1）已知，，且对任意，，当时，有成立，求实数的取值范围；
（2）已知，，，且对任意，，当时，有，求：当时，的函数解析式．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________.
【答案】
【解析】由四边形为矩形，
得，，
由双曲线，得，且，
由椭圆，得，解得，
即，解得，所以的离心率．故答案为：．
二、选择题
13.C 14.A 15.B 16.C
16．给定以下两个命题：①若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是
②若存在，对任意，使成立，则实数的取值范围是
则下面说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】C
【解析】命题①中，若对任意存在使得，则的最大可能值为0，但题目结论为，故命题①为假；
命题②中，若存在产对所有有，则的最大可能值为0，与题目结论一致，故命题②为真，
综上，正确选项为C.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）;能认为汽车的性能与款式有关（2）
20．（本题共两小题，第1小题5分，第2小题6分，满分11分）
已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点．
（1）若，为等于三角形，且点在第一象限，求点的坐标．
（2）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当时，双曲线，且．
由点在第一象限，可知为钝角．
由为等腰三角形，得．
设点，且，则，解得，即；
（2）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称．
设，则．
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立，得,
则，即，
，由，得，
得，所以
整理得，则
再由，得，解得，所以，
又，得，即的最大值为．
21．【答案】（1）实数； （2）当时，.

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