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复旦附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知是虚数单位，复数满足，则________．
2．已知，，，则________．
3．在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则的面积为________．
4．一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面的半径为________．
5．已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为________．
6．如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为________．
（第6题） （第8题） （第9题）
7．已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为________．
8．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150 ，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为、，若，则甲、乙两人相距________．
9．如图，已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为________．
10．已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为________．
11．关于的方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点在同一个圆上，则实数的取值范围为________．
12．如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的“牟合方盖”．已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一“牟合方盖”的体积为________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题4分，第15-16题5分．
13．已知、是复数，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．已知非零向量、满足，则在方向上的投影为（ ）．
A． B． C． D．
15．如图，在正方体中，为的中点，对于下列两个命题：
①平面上存在一条直线，与平面平行；
②平面上存在一条直线，与平面垂直．则（ ）
A．①对，②对
B．①对，②错
C．①错，②对
D．①错，②错
16．正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题：
①中可能有4条直线与异面；
②中可能有5条直线与异面
③中可能有8条直线与异面；
④中可能有10条直线与异面．
其中，正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）设，，若关于的等式有解，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知是虚数单位，设，．
（1）已知，且，求的值；
（2）求证：．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分）
用一个与圆柱底面不平行的平面去截圆柱可得到一个斜截面．若沿着圆柱的母线将其剪开并展开成平面图，通过观察，发现此截口曲线展开后，与正弦函数或余弦函数的图像相近．
设圆柱的底面半径为，斜截面与底面所成的二面角的大小为．
（1）某班的同学们尝试研究上述截口曲线的形状问题．他们自制了与不同的三个斜截圆柱，如图1所示，并沿着斜截圆柱的母线将其剪开后展开成平面图．然后他们分为三组，进行了如下操作：首先把截口曲线描到白纸上，通过合理地建立平面直角坐标系，再选取一些点并测量其坐标，最后由形如的函数表达式进行拟合，并求出对应的拟合结果．
拟合的结果如下表所示，因为，所以表格中都可以近似地看作，再作适当的上下平移，则可化为0，故得到表格中对应的近似结果．
请将表格中序号③的近似结果补充完整，将答案直接写在答题纸上的相应位置（无需过程）；
序号 r θ 拟合结果 近似结果
① 3.3 22.5
② 3.3 45
③ 2 45
（2）如图2，已知、分别是圆柱的上、下底面的圆心，圆柱的一个斜截面所在的平面与上底斜截面上平面的交线是在点的切线，又平面过线段的中点且平行于底面设平面上底时截面相交于的直径，并与圆柱的母线的公共点为．
如图3，现只考虑该圆柱在斜截面下方的部分．对于斜截面边界上的一点，点在平面上的投影为点．已知圆柱的底面半径为，二面角的大小为，设的的长度为，，，试用表示，并求；
（3）在（2）的条件下，设，试求关于的函数表达式．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.;
7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．关于的方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点在同一个圆上，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为的解为
设所对应的两点分别为，则，
设的解所对应的两点分别为，，记为，
当，即时，因为关于轴对称，
且，关于轴对称，显然四点共圆；
当，即或时，此时，且，
故此圆的圆心为，半径
又圆心到的距离，解得，综上：，
故答案为：．
二、选择题
13.B 14.D 15.B 16.C
16．正方体中，直线平面，直线平面，记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为．给出下列四个命题：
①中可能有4条直线与异面；
②中可能有5条直线与异面
③中可能有8条直线与异面；
④中可能有10条直线与异面．
其中，正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，当直线取时，中只有四条直线，）与直线异面，故①正确；
对于②，因为直线平面，所以,不可能与直线异面，
当直线过底面两个顶点时，若直线为底面边所在直线，
则由①可知，此时只有四条直线与直线异面；
若直线为底面对角线，不妨设为，此时有超过5条直线与直线异面；
当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点A）时，
此时至少有，超过5条直线与直线异面；
当直线不过底面任何一个顶点时，
此时至少有，超过5条直线与直线异面；
综上，中不可能有5条直线与异面，故②错误；
对于③，当直线取点与线段的中点连线时，
中除了和之外的8条棱均与直线异面，故③正确；
对于④，当直线取线段中点与线段的中点连线时，
中除了和之外的10条棱均与直线异面，故④正确；故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）或 （2）证明略
20．【答案】（1） （2） （3）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
【答案】 （2）证明见解析
【解析】（2）证明：取中点，连接，如图，
因为为中点，所以
在等腰梯形中，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面；

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