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宜川中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 ．
2. 直线被圆截得的弦长为 ．
3．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
4．已知复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数 ．
5．在中，若，，，则的长为 ．
6．直线与直线的夹角的大小为 .
7．已知等差数列中，，，则 ．
8. 直线关于点对称的直线方程是 ．
9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
10．已知数列中，，，则 ．
11．已知圆和直线．下面四个命题：
①对任意实数与,直线和圆相切;
②对任意实数与,直线和圆有公共点;
③对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切;
④对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切.
其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号)
12．已知复数满足，若复数，（是虚数单位），
记 ，则的最小值的取值范围是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）.
13．“”是“直线与直线平行”的（ ）．
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（ ）．
A．若，则 B．
C．若，则 D．
15．已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
16．过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B.
C． D．数列的前项和为
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.
17．（本题满分14分）
已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值．
18．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，，．
（1）为何值时，与垂直？
（2）求向量与的夹角的余弦值．
19.（本题满分14分）本题有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数表达式；
（2）当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
20.（本题满分18分）本题有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．
（1）当时，求直线的方程；
（2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；
（3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．
已知数列中，，．
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由．
宜川中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．半径为3，圆心角等于的扇形的面积是 ．
【答案】
2. 直线被圆截得的弦长为 ．
【答案】
3．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
4．已知复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数 ．
【答案】
5．在中，若，，，则的长为 ．
【答案】
6．直线与直线的夹角的大小为 .
【答案】
7．已知等差数列中，，，则 ．
【答案】
8. 直线关于点对称的直线方程是 ．
【答案】
9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】；
10．已知数列中，，，则 ．
【答案】
11．已知圆和直线．下面四个命题：
①对任意实数与,直线和圆相切;
②对任意实数与,直线和圆有公共点;
③对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切;
④对任意实数,必存在实数,使得直线和圆相切.
其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号)
【答案】②④；
12．已知复数满足，若复数，（是虚数单位），
记 ，则的最小值的取值范围是 .
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）.
13．“”是“直线与直线平行”的（ ）．
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】
14．已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（ ）．
A．若，则 B．
C．若，则 D．
【答案】
15．已知关于的不等式在区间内有个整数解，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】
16．过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B.
C． D．数列的前项和为
【答案】
17．（本题满分14分）
已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值．
【答案】
【解析】设，
则，解得： ……6分
……10分
当，即时， 的最小值为 ……14分
18．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知，，．
（1）为何值时，与垂直？
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1），即
又已知，，所以 ……3分
， ……6分
（2）设向量与的夹角为，， ……8分
， ……11分
……14分
19.（本题满分14分）本题有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数表达式；
（2）当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值．
【答案】（1），.
（2）或时，当取得最大值.
【解析】（1）过作，垂足为，
由题意可得：，，故，
. ……2分
所以矩形的面积，. ……6分
（2）此时，
故
令，，所以 ……8分
，原式
在区间上严格减，在区间上严格增 ……10分
所以当，即时，当取得最小值，此时，
所以解得或. ……12分
所以当，即或时，当取得最大值. ……14分
20.（本题满分18分）本题有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．
（1）当时，求直线的方程；
（2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值；
（3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）或 （2） （3）不存在
【解析】（1）（解法一）设弦的中点为
①当直线的斜率不存在时，易知符合题意． ……2分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即，
，则由
得，此时直线的方程为
故直线的方程为或 ……4分
（解法二）设直线的方程为
，则由得或
故直线的方程为或 ……4分
（2）（解法一）由于、为圆的两条切线
所以 ……6分
又，而的最小值为点到直线的距离，
所以 ……9分
故四边形面积的最小值为 ……10分
（解法二） （前两步同解法一）
设点的坐标为，则
所以当时， ……9分
故四边形面积的最小值为 ……10分
（3）设直线的方程为
……12分
， ……14分
设、则
又，，所以 ……16分
若向量与共线，则，
又无解，所以不存在直线，使得向量与共线 ……18分
（说明：直线方程按斜率存在和不存在讨论的相应给分）
21．（本题满分18分）本题有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．
已知数列中，，．
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）是“数列” （3）存在，且，
【解析】（1）因为，且数列为“数列”，所以，2分
即，所以是以首项为，公差的等差数列，
所以． ……4分
（2）由已知条件可得，，故，所以． ……5分
当时，根据通项公式可得，
①②得，又也成立，
所以， ……6分
设，即，所以．
又，所以是以首项为，
公比为的等比数列．所以，
即， ……8分
所以，所以是以首项为，公比为的等比数列，
故数列是“数列”． ……10分
（3）由数列是“数列”得，所以，即，所以，所以时， ……11分
，
当时上式也成立，故． ……12分
假设存在正整数，，使得，即，
由，可知，所以，
又因为，为正整数，所以， ……14分
又，
所以． ……16分
，，，．
故存在满足条件的正整数，，且，． ……18分

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