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宜川中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．关于实数的方程的解为 ．
2．圆的半径为 ．
3．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ．
4．已知复数（i为虚数单位），则 ．
5．已知，则 ．
6．已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．
7．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序．
8．在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）．
9．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ．
10．设，等差数列的首项，公差，若，则的值为 ．
11．直线与椭圆交于两点，为椭圆左焦点．则周长最大值是 ．
12．如图，在凸四边形中，
，当变化时，对角线的最大值为 ．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13－14题4分，15－16题5分.
13．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）.
A．甲得分的极差小于乙得分的极差；
B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数；
C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数；
D．甲得分的方差小于乙得分的方差．
14．已知非零空间向量，满足，则一定共线的三点是（ ）.
A． B． C． D．
15．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
16．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即.给出下列2个结论：
（1），（2）.则下列说法正确的是（ ）.
A．（1）成立，（2）不成立 B．（1）不成立，（2）成立
C．（1）（2）都成立 D．（1）（2）都不成立
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设：实数满足：实数满足.
（1）若，求都成立时的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值．
培训次数 1 2 3
参加人数 2 4 6
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示：
从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）；
（2）从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线过点，且离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的大小；
（3）若是上异于点A的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点.
21．（本题满分18分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
（3）求证：有且只有两条直线与曲线均相切．
宜川中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．关于实数的方程的解为 ．
【答案】
2．圆的半径为 ．
【答案】
3．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ．
【答案】
4．已知复数（i为虚数单位），则 ．
【答案】
5．已知，则 ．
【答案】
6．已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ．
【答案】
7．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序．
【答案】1440
8．在的展开式中，的系数是 （结果用数字表示）．
【答案】0
9．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】
10．设，等差数列的首项，公差，若，则的值为 ．
【答案】56
11．直线与椭圆交于两点，为椭圆左焦点．则周长最大值是 ．
【答案】8
12．如图，在凸四边形中，，当变化时，对角线的最大值为 ．
【答案】
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13－14题4分，15－16题5分.
13．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）.C
A．甲得分的极差小于乙得分的极差；
B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数；
C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数；
D．甲得分的方差小于乙得分的方差．
【答案】C
14．已知非零空间向量，满足，则一定共线的三点是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
15．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
16．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即.给出下列2个结论：
（1），（2）.则下列说法正确的是（ ）.
A．（1）成立，（2）不成立 B．（1）不成立，（2）成立
C．（1）（2）都成立 D．（1）（2）都不成立
【答案】C
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设：实数满足：实数满足.
（1）若，求都成立时的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）时，，即，
由得，解得又，而都成立，所以；
（2），由是的充分不必要条件，
则等号不同时成立，又因为，所以．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）由底面是直角梯形，，
结合勾股定理计算可得：，
又因为则，所以，
又因为平面平面，所以，且，
且平面，所以平面平面，所以平面平面．
（2）∵平面平面，又∵，
∴为二面角的平面角．在Rt中，，
培训次数 1 2 3
参加人数 2 4 6
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示：
（1）从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）；
（2）从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）.
【答案】（1） （2）分布为，期望．
【解析】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
（2）由题意知可能取值为0、1、2，
，
则随机变量的分布为，
所以的期望．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线过点，且离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的大小；
（3）若是上异于点A的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点.
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由，得，
将点代入的方程中，得，解得，
故，所以双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1，
所以，即.设，由于直线与交于点，
所以，联立整理得.
则，
且，
故，
所以，故．
（3）当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，
则即，
又在双曲线上，所以，联立可得，所以或，
当时，直线过点A，舍去，故此时直线的方程为.
当直线的斜率不为0时，设的方程为，设，
联立得，则且
且，
化简得.
代入（※）式，得，即，
所以或．
（i）当时，的方程为，
此时直线过定点．
（ii）当时，的方程为，
此时直线过定点，与是双曲线上异于A的两点矛盾.
综上，直线过定点．
21．（本题满分18分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数；
（3）求证：有且只有两条直线与曲线均相切．
【答案】（1）最大值为－2. （2）见解析 （3）证明见解析
【解析】（1），定义域为，
所以，令，解得或（舍去），
当时，，函数严格增；当时，，
函数严格减，故当时，函数取到最大值为－2.
（2），即，由（1），在上严格增，在严格减，得到图像，方程解的个数即为直线与图像的交点个数，
当时，有两个交点，即方程有2个解；
当时，有一个交点，即方程有1个解；
当时，有零个交点，即方程有0个解；
（3）假设直线与曲线均相切，与相切于，与相切于，，则,
消去得，令，
则，令得或，又，所以，当严格增，又，
则有唯一零点；
当严格减，又，
则有唯一零点，
综上所述，在区间和各有一个零点，
即证有且只有两条直线与曲线均相切．

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