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上实验2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．已知函数，则 ．
2．已知为定义在上的奇函数，当时，，则 .
3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
4．已知随机变量，且，则 ．
5．已知，，，则的最小值为 .
6．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（ 3局2胜 是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者。如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；
7．函数在上的最小值为 .
8．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ．
9．若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是 ．
10．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线： （其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 .
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题选对得4分）
11．若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ）
超市 A B C D E F
广告支出x万元 1 2 4 6 10 13
销售额y万元 14 21 29 30 37 43
A．广告支出数据的极差为13
B．销售额数据的第80百分位数为43
C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元
D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强
14．在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论：①; ②; 那么（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分，第1问4分，第2问6分）
集合，集合.
(1)求集合；
(2)若，且，求实数的取值范围.
16. （本题满分10分，第1问3分，第2问3分，第3问4分）
某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成.
(1)求回归系数；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇）
真实人类撰写（篇）
总计 200
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. （本题满分12分，第1问3分，第2问4分，第3问5分）
已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点．
（ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程．
18. （本题满分12分，第1问4分，第2问4分，第3问4分）
设函数.（）
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若只有一个零点,求实数的取值范围.
四、附加题
19. （本题满分10分，第1问2分，第2问3分，第3问5分）
已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动：
(1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率；
(2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为．
（ⅰ）若，，求概率；
（ⅱ）求使概率取得最大值时m的值．
20. （本题满分10分，第1问2分，第2问4分，第3问4分）
已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设．
（1）当时，求函数在处的切线方程
（2）若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围；
（3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：．
上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．已知函数，则 ．
【答案】3
【解析】因，由可得，
故.故答案为：3.
2．已知为定义在上的奇函数，当时，，则 .
【答案】-7
【解析】因为为定义在上的奇函数，当时，，
故.故答案为：-7.
3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为关于的不等式的解集为，所以，
解得，即实数的取值范围是．故答案为：
4．已知随机变量，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，故，故，得，故答案为：
5．已知，，，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】由，得，
当且仅当时等号成立，故的最小值为6.故答案为：6
6．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制（ 3局2胜 是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢得两局的一方即为胜者。如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；
【答案】
【解析】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，
所以甲以的比分获胜的概率，
7．函数在上的最小值为 .
【答案】或（两个答案均可）
【解析】由题，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：或（两个答案均可）
8．已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】2
【解析】∵点F到渐近线的距离为b，∴，即，所以．
故答案为：
9．若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】因为，令，
由题意可知，或解得.故答案为：.
10．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线： （其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 .
【答案】.
【解析】当时，过原点作的切线，
设切点，
则切线方程为，
又切线过点，所以，所以，
设，则，
故为增函数，且，
所以，记改切线与轴所成角为,
当时，函数转化为，该双曲线在第二象限有渐近线
由题意，，则故故答案为：.
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
11．若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，抛物线C的方程为，
将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：D
12．已知实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】不等式，等价于，
因为，所以，显然，得出；
，得或，未必.故选：A
13．为了判断某地超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取6家超市，得到其广告支出与销售额数据如下表，则下列说法中正确的是（ ）
超市 A B C D E F
广告支出x万元 1 2 4 6 10 13
销售额y万元 14 21 29 30 37 43
A．广告支出数据的极差为13
B．销售额数据的第80百分位数为43
C．预测当某超市广告支出为15万元时，销售额一定是48万元
D．若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会加强
【答案】D
【解析】对于A，极差为，故A错误；
对于B，销售额数据按照从小到大的顺序排列为共个数据，
因为，所以销售额数据的第百分位数为，故B错误；
对于C，线性回归方程反应之间关系的一种拟合，不具有确定性
对于D，若去掉超市A这一组数据，因为超市的数据偏离其他数据较远，去掉后其他数据更集中，所以相关程度会更高，故D正确.故选：D.
14．在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【解析】设，易知，
单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大，
，即，
所以，所以，故①正确；
设直线的方程为，
则和是函数的两个零点，，
又，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
下面证明，只需证，
由于，在上单调递减，
即证，即证.
设，，
因为，，
所以在上单调递增，所以，
故，即成立.故②正确.
另解：利用计算器找特解，如取计算器解得，可得答案;故选：A
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分，第1问4分，第2问6分）
集合，集合.
(1)求集合；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）故
【解析】（1）由可得，
故，
（2）由可得，
由可得，故，
，故,且，故
16. （本题满分10分，第1问3分，第2问3分，第3问4分）
某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y（分）.y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且，，已知该平台中15%的文本由AI生成.
(1)求回归系数；
(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）；
(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇）
真实人类撰写（篇）
总计 200
依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？
参考公式：
提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1） （2）. （3）有差异.
【解析】（1）因为，且，，
故，故.
（2）记事件为 “由AI生成的文本”， 为“由人类撰写的文本”，
为“被检测系统识别为人类撰写的文本”，
由题意知，，，，，
由全概率公式知：
，
即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为.
（3）AI生成的篇数为，人类撰写的篇数为，
真实AI生成且被识别为AI生成的篇数，
真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数，
故列联表为：
文本真实性 检测结果 总计
识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇）
真实AI生成（篇） 29 1 30
真实人类撰写（篇） 6 164 170
总计 35 165 200
零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异.
由列联表数据计算得，，
所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异.
17. （本题满分12分，第1问3分，第2问4分，第3问5分）
已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点．
（ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积；
（ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程．
【答案】（1） （2）（ⅰ）
（ⅰi）
【解析】（1）由题意知椭圆方程为
（2）（ⅰ）设
联立，消去x得
（ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立：
将代入可得.
展开并整理得.
所以.
由韦达定理可得，.
因为，根据斜率公式可得：，即.
又因为，，所以.
展开得.
移项可得.
将，代入：
因为，等式两边同时除以得. 即.
两边同时乘以得. 移项可得，解得.
把代入得. 整理得.
18. （本题满分12分，第1问4分，第2问4分，第3问4分）
设函数.（）
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若只有一个零点,求实数的取值范围.
【答案】（1）极大值为，没有极小值. （2）见解析 （3）或
【解析】（1）当时，，则，
时，，时，.
在上为增函数，在上为减函数，，
当时，的极大值为，没有极小值.
（2），
.
①当时，，则在上为增函数；
②当时，在区间及上有，在区间上有，故当时，在及上为增函数，
在上为减函数；
③当时，在区间及上有，在区间上有，
故当时，在及上为增函数，在上为减函数.
（3）由（2）知：
①当时，在上为增函数，且，
则在上只有一个零点；
②当时，在及上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，
且.
令，则，
在上为减函数，，
所以时，，即，
，则只有一个零点.
（若直接说明时，有，酌情给分）
③当时，在及上为增函数，在上为减函数，
故的极大值为，
且.
令，且，
则，则在上为增函数，
故时有，
即，则只有一个零点.
（若直接说明时，有，酌情给分）
④当时，在上为增函数，在上为减函数；
,因为只有一个零点，所以，
综上所述，当或时，只有一个零点.
四、附加题
19. （本题满分10分，第1问2分，第2问3分，第3问5分）
已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动：
(1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率；
(2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为．
（ⅰ）若，，求概率；
（ⅱ）求使概率取得最大值时m的值．
【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）．
【解析】（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为．
（2）（ⅰ）．
（ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，
即．“”所包含的事件总数为，
∴，
设，
．
令．
①当时，（比较与k大小）
②当时，（比较与大小）
∴．
则当能被整除即时，在或处达到最大值：
当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）．
当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况．
综上：使概率取得最大值时．
20. （本题满分10分，第1问2分，第2问4分，第3问4分）
已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设．
（1）当时，求函数在处的切线方程
（2）若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围；
（3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：．
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）,，，则切线方程为
（2）方法一：设，不妨设，
由是其定义域上的＂等差偏移＂函数，
，
令，
，而时，，，，
即a的取值范围为．
方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为，
由“等差偏移”函数定义知：，化简得：
，
即：，即，
令，函数，，
故，又因为，所以，
（3），则，
设，，
因为，当时在单调递增，，故．
构造函数，
即在单调递增，则，故当时，
所以有，故
即．
所以，即；
故

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