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川沙中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，若，则________．
2．函数的导函数________．
3．不等式的解集为________．
4．在的二项展开式中，项的系数为________．
5．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________．
6．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则________．
7．已知函数，则函数的定义域为________．
8．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
9．已知由样本数据（，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为________．
10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
11．函数在区间上有最小值，则的取值范围是________．
12．函数（），若恒成立，则的最大值________．
二、单选题（本大题共4小题，满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分．）
13．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ）
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；
③若事件，满足，则事件与事件相互独立；
④某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10、3、8、3、2、18、7、4，则该样本数据的第50百分位数为4．
A．只有一个正确 B．只有两个正确
C．只有一个错误 D．四个题是错误的
16．已知函数（）的最小正周期是，函数（）的最小正周期是，且（），
对于命题甲：函数（）可能不是周期函数；
命题乙：若函数（）的最小正周期是，则．
下列选项正确的是（ ）
A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题
C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．）
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知函数是定义在上的偶函数．其中、且．
（1）求的表达式；
（2）若，实数满足，求的取值范围．
19．近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次，数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）能否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
（2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
（3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名布民，记其中喜欢网上买卖的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差．
参考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．已知椭圆：（）的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线：交椭圆于，两点（异于椭圆顶点），点为线段的中点，为坐标原点．
①若点在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
21．已知函数，．
（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，（），且，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．函数在区间上有最小值，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】已知，函数定义域为，可得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，若函数在上有最小值，
此时最小值为，需满足且，
所以且，此时且，解得，故答案为：．
12．函数（），若恒成立，则的最大值________．
【答案】
【解析】因为函数，即，
若，当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以，所以；
设，,解得，
当时，是增函数，当时，是减函数，
则，故答案为：．
二、选择题
13.C 14.A 15.B 16.A
16．已知函数（）的最小正周期是，函数（）的最小正周期是，且（），
对于命题甲：函数（）可能不是周期函数；
命题乙：若函数（）的最小正周期是，则．
下列选项正确的是（ ）
A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题
C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题
【答案】A
【解析】取，则不是周期函数，故甲命题为真命题；
若函数的最小正周期是，
则，∴，故乙命题为真命题；
故选：．
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）有关 （2） （3）
20．已知椭圆：（）的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线：交椭圆于，两点（异于椭圆顶点），点为线段的中点，为坐标原点．
①若点在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；
②求证：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
【答案】（1） （2）①、②证明见解析
【解析】（1）由已知可得，
又，∴
椭圆的方程为．
（2）证明：由题意知，直线斜率存在，
设，．由，
消去整理得,
①因为点为线段的中点，点在直线上，
即
∴线段的垂直平分线方程为，即，
即，故线段的垂直平分线恒过定点．
②由弦长公式得
，坐标原点到直线的距离为，
∴的面积为
当且仅当，即时等号成立．
∴直线与的斜率之积为定值．
21．已知函数，．
（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，（），且，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）当时，，
设直线与曲线相切于点，则，
即，解得，即切点为，
因为切点在上，所以，解得.
（2）不等式可化为．
记，则对任意恒成立．
考察函数，．
当时，在上单调递减，
又，所以，不合题意；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在上单调递增，
所以时，，符合题意；
若，即时，在上单调递减，
所以当时，，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为
（3）方法一：，
因为有两个极值点，
所以，即的两实数根为
所以，所以，
从而
记
则
（当且仅当时取等号），所以在上单调递增，又，
不等式可化为，所以.
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为，．
方法二：，．
因为有两个极值点，
所以，即的两实数根为，
所以，所以．
设，则，所以，
从而等价于，
记．
则当且仅当时取等号），
所以在上单调递增．又，所以．
因为，且在上递增，所以，
即的取值范围为

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