上海市新川中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

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上海市新川中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

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新川中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题(本大题共有12题,满分36分)
1.设集合,则 .
2.不等式的解集为 .
3.从总体容量为240的研究对象中挑选10个样本,利用随机数表法抽取样本时,先将所有研究对象按001,002,,240进行编号,然后从随机数表第4行第5个数开始向右读,则选出的第4个编号是 .(注:下面为随机数表的第4,5行)
49042443 36160865 53317333 03570684 57173172 84357012
17355239 47454753 01644305 44017425 26545229 10694745
4.的展开式中的系数为 .(用数字作答)
5.若,且,则的最大值 .
6.已知函数,则 .
7.已知随机变量服从正态分布,若,则 .
8.有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为,现从这批产品中任取一件,则取到次品的概率为 .
9.某产品的广告费(单位:万元)与销售额(单位:万元)的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中,据此模型可预测当广告费为6万元时,销售额约为 万元.
10.若对任意,均有,则实数的取值范围为 .
11.抛掷一个质地均匀的骨子两次,记第一次得到的点数为,第二次得到的点数为,则函数没有极值点的概率为 .
12.已知函数,现给出下列结论:
(1)有极小值,但无最小值; (2)有极大值,但无最大值;
(3)若方程恰有一个实数根,则; (4)若方程恰有三个不同实数根,则.其中所有正确结论的序号为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分12分)
13.英国数学家哈利奥特最先使用""和">"符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数,下列命题是真合题的是( ).
A.若,则; B.若,则;
C.若,则; D.若,则.
14.在研究线性回归模型时,若样本数据所对应的点都在直线上,则两组数据和的线性相关系数为( ).
A. B. C.1 D.2
15.一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间,记事件,事件,事件,则( ).
A.事件两两独立,事件相互独立
B.事件两两独立,事件不相互独立
C.事件不两两独立,事件相互独立
D.事件不两两独立,事件不相互独立
16.设定义域为的函数,函数的导函数是.对于,函数在上存在极值点.记.则S中的函数一定不具有的性质是( ).
A. B.
C.函数在上为严格增函数 D.函数是偶函数
三、解答题(本大题共有5题,满分52分)
17.(本题满分8分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分5分)
已知
(1)若,求实数的取值范里;
(2)若,求实数的取值范围.
18.(本题满分10分,第(1)小题满分8分,第(2)小题满分2分)
已知
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数e为自然对数的底);
(2)根据(1)的结论,判断与的大小关系:
19.(本题满分10分,本题共2个小题,第(1)题满分4分,第(2)小题满分6分)
近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现,紧急避险知识越来越引起人们的重视.我校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况,从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试,其中男生110名,女生90名.所有学生的测试成绩都在区间范围内,由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图.
(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等,求图中的值;
(2)规定测试成绩不低于80分为优秀,已知共有45名男生成绩优秀,完成上面的列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异?参考公式与数据:
20.(本题满分12分,本题共有3个小题,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
为响应国家促进消费的政策,某大型商场举办了"消费满减乐翻天"的优惠活动,顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次,抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种).
方案1:从装有5个红球,3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中,有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球,立减150元,若3次都摸到红球,则额外再减200元(即总共减650元);
方案2:从装有5个红球,3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中,不放回地依次摸出3个球.中奖规则为:若摸出3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球,则打5折;其余情况无优惠.
(1)顾客A选择抽奖方案2,已知他第一次摸出红球,求他能够享受优惠的概率;
(2)顾客B恰好消费了800元,
①若他选择抽奖方案1,求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01);
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理.
21.(本题满分12分,本题共有3个小题,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
已知函数,令.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)当为正数且时,,求的最小值;
(3)若对一切都成立,求的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.172; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12.(2)(4)
11.抛掷一个质地均匀的骨子两次,记第一次得到的点数为,第二次得到的点数为,则函数没有极值点的概率为 .
【答案】
【解析】已知函数,可得,
因为函数没有极值,所以,即,
此时所有的基本事件的个数个,其中满足的基本事件有:,共9个,所以所求概率.
故答案为:.
12.已知函数,现给出下列结论:
(1)有极小值,但无最小值; (2)有极大值,但无最大值;
(3)若方程恰有一个实数根,则; (4)若方程恰有三个不同实数根,则.其中所有正确结论的序号为 .
【答案】(2)(4)
【解析】由函数,可得导数为,
当时,递减;当或时,递增.
当时,;当时,.作出函数的图象,
可得:在处取得极小值,且为最小值;
在处取得极大值,且为,无最大值.
故(1)错;(2)对;
若方程恰有一个实数根,可得或,故(3)错;
若方程恰有三个不同实数根,可得,故(4)对.故答案为:(2)(4).
二、选择题
13.D 14.B 15.B 16.D
15.一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间,记事件,事件,事件,则( ).
A.事件两两独立,事件相互独立
B.事件两两独立,事件不相互独立
C.事件不两两独立,事件相互独立
D.事件不两两独立,事件不相互独立
【答案】B
【解析】由题意可知,,,
因为,,所以事件两两独立,
但是,所以事件不相互独立.故选:B.
16.设定义域为的函数,函数的导函数是.对于,函数在上存在极值点.记.则S中的函数一定不具有的性质是( ).
A. B.
C.函数在上为严格增函数 D.函数是偶函数
【答案】D
【解析】函数定义域为,其导函数存在极值点,
那么,且,
且对,有
并且
满足
因此函数,所以选项有可能成立;
函数定义域为,且导函数存在极值点,
又因为,
且对,有

满足
因此函数,可知选项,选项均有可能成立.
假设函数是偶函数,那么导函数是奇函数,因此.
设,则
从而对任意有,
故,但这对不成立,所以选项不可能成立.故选:D.
三.解答题
17.(1) (2)
18.(1)证明略 (2)
19.(1) (2)联列表如下,没有差异
20.(本题满分12分,本题共有3个小题,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
为响应国家促进消费的政策,某大型商场举办了"消费满减乐翻天"的优惠活动,顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次,抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种).
方案1:从装有5个红球,3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中,有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球,立减150元,若3次都摸到红球,则额外再减200元(即总共减650元);
方案2:从装有5个红球,3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中,不放回地依次摸出3个球.中奖规则为:若摸出3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球,则打5折;其余情况无优惠.
(1)顾客A选择抽奖方案2,已知他第一次摸出红球,求他能够享受优惠的概率;
(2)顾客B恰好消费了800元,
①若他选择抽奖方案1,求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01);
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理.
【答案】(1) (2)①见解析 ②方案2更合理
【解析】(1)设事件表示"第一次摸到红球",事件表示"能够享受优惠",
在第一次摸到红球后,抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球,共7个球,
享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况,
从7个球中不放回摸2个球,总情况有钟,
摸出两个红球的情况有种,摸出1红1蓝的情况有种,
所以
(2)①设顾客选择抽奖方案1时实付金额为元,从装有5个红球,3个蓝球的抽奖盒中摸一个球,摸到红球的概率为,摸到蓝球的概率为
当摸出0个红球时,,
当摸出1个红球时,
当摸出2个红球时,
当摸出3个红球时,,所以实付金额的分布列为
实付金额的期望为:
②设顾客选择抽奖方案2时实付金额为元,
当摸出0个红球或1个红球时,,
当摸出2个红球时,,
当摸出3个红球时,,
所以
所以,所以从实付金额的期望值分析,顾客选择抽奖方案2更合理.
21.(本题满分12分,本题共有3个小题,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
已知函数,令.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)当为正数且时,,求的最小值;
(3)若对一切都成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)的最小值为1; (3)
【解析】(1)时,,故,
所以在处的切线方程为即
(2)

因为,当时,易得在上单调递增,,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
故,不合题意;
当时,在上单调递减,在上的最小值,不符合题意,故的最小值为1;
(3)若对一切都成立,
则对一切都成立,
所以对一切都成立,
令,则在上单调递增,
所以,在时恒成立,
即在时恒成立,
当时,在时恒成立,符合题意,
当时,因为过定点,对称轴,则只要,所以,故的取值范围为.

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