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莘庄中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的准线方程是________．
2．若随机变量服从正态分布，，则________．
3．函数在处的切线斜率为________．
4．已知两个具有线性相关关系的变量，的一组数据，，，，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数________．
5．设实数，圆的面积为，则________．
6．某中学高一、高二、高三的学生人数比例为，假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5，0.7，0.9，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率________．
7．设双曲线的左右焦点分别为、、过作平行于轴直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________．
8．已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________．
9．已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________．
10．设集合中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则集合的元素个数最多为________．
11．如图，圆锥的底面直径和高均是3，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________．
12．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知、为两个随机事件，则“、为互斥事件”是“、为对立事件”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ）.
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
15．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下列等式可能成立的是（ ）.
A． B． C． D．
16．在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论：①任意，，存在，，…，…．对任意正整数，为大于零的常数．
②任意，，存在，，…，…．对任意正整数，为大于零的常数．下列选项中，判断正确的是（ ）.
A．命题①成立，命题②成立 B．命题①成立，命题②不成立
C．命题①不成立．命题②成立 D．命题①不成立，命题②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）（第一小题7分，第二小题7分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围．
18．（本题满分14分）（第一小题6分，第二小题8分）
某学生兴趣小组从一年365天中随机调查了100天中每天的空气质量等级和当天到莘庄公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）一年365天中到莘庄公园锻炼的人次大于400人的约有多少天（精确到1天）；
（2）估计一天中到莘庄公园锻炼的平均人次；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．判断是否有95%的把握认为一天中到莘庄公园锻炼的人次不超过400人与当天的空气质量有关？（）
19.（本题满分14分）（第一小题6分，第二小题8分）
随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对Al大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言四种Al大模型的情况统计如下：
使用Al大模型的种数性别 0 1 2 3 4
男 4 27 23 16 10
女 6 48 27 24 15
在上述样本所有使用3种Al大模型的40人中，统计使用DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言的Al大模型人次如下：
Al大模型种类 DeepSeek Kimi 豆包 文心一言
人次 32 30 30 28
用频率估计概率．
（1）从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立：
（2）从该地区使用3种Al大模型（DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言中）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用Al大模型（DeepSeek、Kimi、豆包、文心一言中）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由．
20.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
在平面自角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为、，是第一象限上一点．直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设，若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
21.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”．
（1）对于，求证：；
（2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围：
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，圆锥的底面直径和高均是3，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________．
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得即．
令，结合，则，圆柱的体积
时，，时，
即当单调递增；当单调递减，所以当时，．
故答案为：．
12．设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______．
【答案】
【解析】，，，，，，，
二、选择题
13.B 14.C 15. D 16.C
15．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下列等式可能成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，则，
依题意可得，且、
则
经验证，当分别取时，满足题意．
16．在平面直角坐标系中，记，．设点，点，给出如下结论：①任意，，存在，，…，…．对任意正整数，为大于零的常数．
②任意，，存在，，…，…．对任意正整数，为大于零的常数．下列选项中，判断正确的是（ ）.
A．命题①成立，命题②成立 B．命题①成立，命题②不成立
C．命题①不成立．命题②成立 D．命题①不成立，命题②不成立
【答案】C
【解析】为了解决这个问题，我们需要分析给定的集合和，以及关于点和的条件.集合集合定义为：，这是以原点为中心，半长轴为和半短轴为的椭圆的方程.
集合集合定义为：这是以原点为中心，实轴沿轴的双曲线的方程.
命题（1）表明，对于任意，存在点，使得对于任意正整数，点积为大于零的常数.考虑上的点和上的点.
点积为：
为了使这个点积对于所有都是常数，项必须与无关，且表达式必须对所有都为正.我们可以选择，那么和.点积为：
如果选择使得对于某个常数，那么点积为，一个常数.由于和总是正的，点积对于所有都为正.因此，命题（2）成立.
结论命题（1）不成立，命题（2）成立.正确答案是：
三．解答题
17.
（1）
（2）；
18.（1）164.25 （2）（3）有把握
19.（1）不独立（2） （2）
20.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
在平面自角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为、，是第一象限上一点．直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设，若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为椭圆，所以，可得，
则椭圆的离心率；
（2）因为与面积相等，所以与面积相等，
即，由比例可知是的中点，
因为椭圆的右焦点，所以在椭圆上，解得，
则直线的方程为，又，则到直线的距离为；
（3）设直线的方程为，，
因为点在第一象限，所以，
联立，消去并整理得，
与韦达定理得，，
取的中点，此时，，需满足，
因为，,所以，
设，此时函数在上有两个不相等的零点，
需满足，解得则的取值范围为
21.（本题满分18分）（第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”．
（1）对于，求证：；
（2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于2，求实数的取值范围：
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的“距离”相等．证明：是偶函数．
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】（1）存在，对恒成立，
（2）时，，，令，，，
（3）令，则

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