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2025年安徽省蚌埠市高一数学期末模拟卷
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．设向量与夹角的余弦值为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
3．在中，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为的外心，，则（ ）
A．的最小值为，此时为直角三角形
B．的最大值为，此时为直角三角形
C．的最小值为，此时为等边三角形
D．的最大值为，此时为等边三角形
二、多选题
9．下列选项正确的有（ ）
A．若是方程的一个根，则
B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为
C．若复数满足，则的最大值为
D．若复数，满足，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．在上有且仅有四个零点
11．斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直的类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．在劣弧上存在一点，使得
C．当时，平面
D．三棱锥体积的最大值为
三、填空题
12．在中，内角所对的边分别为，若，，，则的面积为 ．
13．已知函数的部分图象如图所示．点F为与x轴的交点，点G、H分别为的图象的最低点和最高点，若，则 ．
14．已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
(1)求函数的最大值；
(2)若，，，求的面积.
16．如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)求二面角的正弦值.
17．已知函数.
(1)若，求的最大值及对应的的取值集合；
(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围.
18．如图，在长方体中，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)画出平面与平面的交线，并说明理由；
(3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
19．在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的取值范围；
(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.《2025年安徽省蚌埠市高一数学期末模拟卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B B C D D BCD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
【详解】设，则，
即，解得，
所以.
2．B
【详解】
.
3．C
【详解】，，，所以，解得，，
因为，所以，.
4．B
【详解】对，，所以函数是偶函数，
其图象关于轴对称，所以排除选项A；
令，可得或，即，
当时，，所以，故排除选项C；
当时，，所以，所以排除选项D.
5．B
【详解】令，故，，
故.
6．C
【详解】因为，
所以，所以，
又，解得：，
因为，所以,所以，
所以.
7．D
【详解】
如图所示，取中点及靠近的四等分点，的中点，连接，，，，，
由，所以，又是中点，是的中点，所以
可知，同理可得，
又，平面，平面，所以平面，所以平面即为平面，
又因为，所以，所以，
所以截此三棱锥所得的截面面积为，
当时，取得最大值，
设外接球球心为，半径为，，分别为，外接圆圆心，球心满足面，面，
又因为和均为边长为4的正三角形，所以，
所以四边形为正方形，且，又,所以，
∴.
8．D
【详解】若，则，此时为钝角三角形.
当时，如图，设直线交直线于点D，不失一般性，记，
则，
故可得，
若，则，而，故，
若，此时，而，
当且仅当为等边三角形时取最小值（此值为等边三角形的高），
故此时，
综上，的取值范围是．
当为等边三角形时，以取得最大值为，
9．BCD
【详解】对于A：若是方程的一个根，
则方程的两个根分别，
所以，
所以，故A错误；
对于B：由题意可知，
所以，
所以向量表示的复数为，故B正确；
对于C：设，
若复数满足，
则在复平面内点在圆上，
圆的圆心，半径，
则的几何意义为原点到圆上点的距离，又，
则的最大值为，C正确；
对于D：因为，
所以，
，
所以，D正确．
10．BD
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
11．ACD
【详解】当为中点时，为中点，连接，则有，
平面，平面，平面，，
，为中点，，
平面，，平面，
平面，，A选项正确；
点在劣弧上，平面，平面，平面，与可能相交可能异面，
因为，若，则，这与与或者相交或者异面矛盾，B选项错误；
，，为等边三角形，．
，，`
当时，由，，得，
则有，，
为直径，是圆周上一点，，平面，平面，，
平面，，则平面，
平面，，
，平面，所以平面，C选项正确，
，由C选项知，D点到平面的距离(即D点到平面的距离)为，，因此，D选项正确．
12．
【详解】因为，
所以由余弦定理得，
可得，
则的面积为.
13．/
【详解】由题知，函数的周期，
所以，当设坐标为时，有
则
又
所以，解得或（舍去）
14．
【详解】如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以．
又，故平面，
因平面，则．又，所以面，
因平面，故．
于是，三棱锥的体积为．
因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为，
依题意，解得．因，故，
所以三棱锥的外接球的表面积为：．
15．(1)
(2)
【详解】（1）
.
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
16．【详解】（1）取中点，连结，，
因为，所以，
在菱形中，，则是等边三角形，
所以，
又平面，
故平面，
又平面，所以；
（2）作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，所以，
所以；
（3）作交于的延长线于点，连接，
由平面，平面，得，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
.
17．【详解】（1）解：当时，，
当时，即函数取得最大值，最大值为，
所以的最大值为3，此时的取值集合为.
（2）解：设，
则，故，
对任意的，恒成立，等价于对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，，恒成立，
①当，即时，在上单调递增，
则，，
故.
由，可得，解得，
则，不符合题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
故.
由，得，
解得或，
因为，所以，符合题意；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，，
故，
由.得，
解得，且，
因为，所以，符合题意；
④当，即时，在上单调递减，
则，.
所以.
由，得，
解得，则，不符合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
18．【详解】（1）在长方体中， ，
与都是等腰直角三角形，
，，
平面平面，，
又面，面，
又平面平面平面；
（2）延长与的延长线相交于，连接，
则即为平面与平面的交线，理由如下：
平面，平面，
平面与平面的交线为；
（3）令与的交点为，
则三棱台的体积为，
为棱的中点，为的中点，
是的中点，是的中点，
，
，，
三棱台的体积为，
过 三点的平面将四棱柱分成的上部分的体积为.
过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为.

19．【详解】（1）
由正弦定理得：，
，，
.
.
， ，，
角的取值范围是.
（2），
，即，
由余弦定理得：.
，
. ，
（当且仅当时取等号），
,或.
设与圆内切于点，则.
（当且仅当时取等号）.
的周长，
（当且仅当时两处都取等号）.
，
，
时，，,
的周长的取值范围是.
答案第1页，共2页

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