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2.2.1 有理数的乘法
第 1课时 有理数的乘法(1)
1.2 023 的倒数是( ).
A. 2023 B. - 2023
2计算(-3)×2,正确的结果是( ).
A. 6 B. 5 C. - 5 D. - 6
3)计算 的结果等于( ).
B. - 1 C. D. 1
4. 教材P39例1·变式计算:
5.(2023·泰安中考) 的倒数是( ).
B. C.
6.(2024·江苏南京鼓楼区期末)有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示.若|a|<|b|，则下列结论一定成立的是( ).
A. a-b>0 B. a+b>0
C. ab>0 D. b--a<1
7.(2024·江苏宿迁沭阳期中)如图，数轴上的A，B 两点所表示的数分别为a,b,且a+b<0, ab<0,则原点O的位置在( ).
A.点A 的右边
B.点B 的左边
C. A,B 两点之间,且靠近点A
D. A,B 两点之间,且靠近点 B
8.若a+b>0,且 ab<0,则以下正确的选项为( ).
A. a,b 都是正数
B. a，b异号，正数的绝对值大
C. a,b都是负数
D. a，b异号，负数的绝对值大
9.表示有理数a，b 的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是( ).
A. a+b>0 B. ab>0
C. a+2>0 D. a-b<0
10.(2024·江苏盐城射阳期末)已知有理数1,—8,+11，-2，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 .
11.中考新考法 过程纠错改错计算： 小苏的计算过程如下：
解：原式
请问小苏的计算过程正确吗 如果不正确，请给出正确的计算过程.
12.已知有理数x,y满足|x|=3,|y|=2.
(1)若x+y<0,求x-y的值;
(2)若 xy<0,求x+y的值.
13.在汛期，如果黄河水位每天上升2 厘米，那么3天后的水位比今天高多少
(规定：把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负)
用算式表示为:(+2)×(+3)=+6.
(1)如果水位每天下降2厘米，那么3天前的水位比今天高多少 请用算式表示.
(2)算式(-2)×(+3)=-6表示的意义是什么 请写下来.
14.中考新考法 新定义问题(2024·北京大兴区期中)观察下列两个等式： 给出定义如下：若对于数对(a，b)，使等式a+b= ab+4成立,则称数对(a,b)是“4相关数对”,如:2+(-2)=2×(-2)+4,所以数对(2,-2)是“4相关数对”.
(1)数对(4,0),(1,1)中是“4 相关数对”的是 ;
(2)一名同学,在数对(m,n)和(-m,-n)都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论：
结论一：m和n互为相反数；
结论二：m和n互为倒数.
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请你判断两条结论是否正确，并说明理由.
第2课时 有理数的乘法 (2)
1.观察算式 在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是( ).
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.乘法对加法的分配律
2.计算(-7.3)×(-42.07)+2.07×(-7.3)时，使用运算律会方便不少，所使用的运算律是 ，计算的结果是 .
3.教材P41例3·变式写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
(--0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5
=--(0.4×0.8×1.25×2.5)(第一步)
=--(0.4×2.5×0.8×1.25)(第二步)
=--[(0.4×2.5)×(0.8×1.25)](第三步)
=--(1×1)=-1.
第一步： ；
第二步： ；
第三步： .
4. 教材P43练习T1·变式 简便方法计算：
5.(2024·河北邢台期末) 的原理是( ).
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律和结合律
D.分配律
6. 已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示,有下列结论:①b+c>0;②ac>0;③b-c<0;④(b+c)(b-c)>0,其中正确结论的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.数学文化 小九九法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，如图两个图框是使用法国“小九九”计算8×9 和6×7 的两个示例.若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数分别为 .
8.已知整数m，n，p，q满足 mnpq=49,且m9.在一列数:a ,a ,a ,…, an中, 且任意相邻的三个数的积都相等.若前n个数的积等于64，则n=
10. 教材P41例3·变式计算:
11.计算： (-24).
小琪的计算过程如下：
解：原式 (-24)①
=-14-20-24②
=-58.③
请问小琪的计算过程正确吗 如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程.
12.已知a,b,c,d,m,它们之间有如下关系:a,b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为5,则(a+b+ cd)m-cd的值是多少
13.(2024·广西南宁期中)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算.
逆用乘法分配律解题
我们知道,乘法分配律是a(b+c)= ab+ ac,反过来 ab+ ac=a(b+c).这就是说,当 ab+ ac中有相同的a 时，我们可以逆用乘法分配律得到 ab+ ac=a(b+c),进而可使运算简便.例如：计算 若利用先乘后减显然很烦琐，注意到两项都有 因此逆用乘法分配律可得 这样计算就简便得多.
计算：
(1)-29×588+28×588;
14.阅读理解：
计算 时，若把 与 分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大减小难度.过程如下：
解：设 为.A 为B,则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB- 请用上面方法计算：
第3课时 有理数的乘法(3)
1.(2024·广东东莞期中)下列选项错误的是( ).
A. (-2)×(-4)=8
C. (-5)×(-2)×(-4)=-40
D. (-3)×(-2)×(-4)=-24
2.有 2 024个有理数相乘，如果积为0,那么这2 024个数中( ).
A.全部为0
B.只有一个为0
C.至少有一个为0
D.有两个数互为相反数
3.教材P42探究·变式式子 (+3.8)×(-981)×(-66)的符号为 .
4. 教材P43练习T2·变式 计算:
(1)-2×3×(-4);
(2)(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2).
5. 已知 abc>0,a>0, ac<0,则下列结论判断正确的是( ).
A. b>0,c>0 B. b>0,c<0
C. b<0,c>0 D. b<0,c<0
6.若a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列结论一定正确的是( ).
A. abc>0 B. abc<0
C. ac> ab D. ac< ab
7.已知a=(-12)×(-23)×(-34)×(-45),b=(-123)×(-234)×(-345),则下列叙述正确的是(- ).
A. a,b皆为正数
B. a,b皆为负数
C. a 为正数,b 为负数
D. a 为负数,b为正数
8.(2024·江苏无锡江阴月考)下列说法正确的是( ).
A.零减去一个数得这个数的相反数
B.几个有理数相乘，当负乘数有奇数个时，积为负
C.两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减
D.绝对值相等的两数差为零
9.(2024·广东广州荔湾区期末)在数轴上表示有理数a,b,c 的点如图所示,若a+b<0, ac<0,则下面四个结论:①abc<0;②b+c<0;③|a|-|b|>0;④|a-c|<|a|,其中一定成立的结论个数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.绝对值小于3 的所有整数的乘积为 .
11.从—5,—8,—1,2,7,3这六个数中取其中3个不同的数作为乘数，则积的最大值为 ·
12. 已知三个有理数-4,5,-7.
(1)它们的和是 ；
(2)这三个数的积比这三个数的绝对值的和大多少
13.(2024·江苏盐城射阳期末)若定义一种新的运算“*”,规定有理数a*b=4ab,如2*3=4×2×3=24.
(1)求3*(-4)的值;
(2)求(-2)*(6*3)的值.
14.如图，小莉同学有7张写着不同数字的卡片，她想从中取出若干张卡片，将卡片上的数字进行有理数的运算.
(1)若取出2 张卡片，应该抽取哪2张使得数字之积最大 积最大是多少呢
(2)若取出3 张卡片，应该抽取哪3张使得数字之积最小 积最小是多少呢
15. 阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材2 3×1 001=3003;13×1001=13 013;213×1001=213213;…
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下:记(公钥,私钥)为(a,b)(其中a,b均为两位正整数)，则 例:当明文为123,(a,b)取(13,77)时,加密解密过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
[模型理解]
(1)设 xyz是一个三位数, xyzxyz 是一个六位数，则 请说明理由.
(2)设 是一个三位数， 是一个四位数，则 被1000除的余数为 请说明理由.
[初步应用]
(3)若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
[解决问题]
请再设计一对匹配的钥匙：( ， ).
2.2.1 有理数的乘法
第 1课时 有理数的乘法(1)
1.2 023 的倒数是( D ).
A. 2023 B. — 2023
2.计算(—3)×2,正确的结果是( D ).
A. 6 B. 5 C. - 5 D. - 6
3.计算 的结果等于( D ).
B. - 1 C. D. 1
4. 教材P39例1·变式 计算:
解： 解：
=-42.
解：
5. 的倒数是(A).
B. C.
6.(2024·江苏南京鼓楼区期末)有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示.若|a|<|b|，则下列结论一定成立的是(B).
A. a-b>0 B. a+b>0
C. ab>0 D. b-a<1
7.(2024·江苏宿迁沭阳期中)如图，数轴上的A，B 两点所表示的数分别为a,b,且a+b<0, ab<0,则原点O 的位置在(C).
A.点A 的右边
B.点B 的左边
C. A,B 两点之间,且靠近点A
D. A,B 两点之间,且靠近点 B
8.若a+b>0,且 ab<0,则以下正确的选项为(B).
A. a,b 都是正数
B. a，b异号，正数的绝对值大
C. a,b都是负数
D. a，b异号，负数的绝对值大
9.表示有理数a，b 的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是(D ).
A. a+b>0 B. ab>0
C. a+2>0 D. a-b<0
10.(2024·江苏盐城射阳期末)已知有理数1,—8,+11，-2，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 16 .
11.中考新考法 过程纠错改错计算：
小苏的计算过程如下：
解：原式
请问小苏的计算过程正确吗 如果不正确，请给出正确的计算过程.
解：不正确.正确的计算过程如下：
12.已知有理数x,y满足|x|=3,|y|=2.
(1)若x+y<0,求x-y的值;
(2)若 xy<0,求x+y的值.
解:∵|x|=3,|y|=2,∴x=±3,y=±2.
(1)若x+y<0,
则x=-3,y=2或x=-3,y=-2,
∴x-y=-3-2=-5或x-y=-3-(-2)
=-1,即x-y的值为-5或-1.
(2)若 xy<0,
则x=3,y=-2或x=-3,y=2,
∴x+y=3+(--2)=1或x+y=-3+2=-1,即x+y的值为1或-1.
13.在汛期，如果黄河水位每天上升2 厘米，那么3天后的水位比今天高多少
(规定：把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负)
用算式表示为:(+2)×(+3)=+6.
(1)如果水位每天下降2厘米，那么3天前的水位比今天高多少 请用算式表示.
(2)算式(--2)×(+3)=--6表示的意义是什么 请写下来.
解:(1)根据题意,得(-2)×(-3)=6.
故3天前的水位比今天高6厘米.
(2)算式(-2)×(+3)=-6表示的意义是水位每天下降2厘米，那么3天后的水位比今天低6厘米.
14.中考新考法 新定义问题(2024·北京大兴区期中)观察下列两个等式： 给出定义如下：若对于数对(a，b)，使等式a+b= ab+4成立,则称数对(a,b)是“4相关数对”,如:2+(-2)=2×(-2)+4,所以数对(2,-2)是“4 相关数对”.
(1)数对(4,0),(1,1)中是“4 相关数对”的是 (4,0) ;
(2)一名同学,在数对(m,n)和(-m,-n)都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论：
结论一：m和n互为相反数；
结论二：m和n互为倒数.
请你判断两条结论是否正确，并说明理由.
解：结论一正确，理由如下：
由题意,得m+n=m·n+4,-m+(--n)=(-m) · (-n)+4,则m+n=-m+(-n),解得m+n=0.
所以m和n 互为相反数，故结论一正确.
第2课时 有理数的乘法(2)
1.观察算式 在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是(C).
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.乘法对加法的分配律
2.计算(-7.3)×(-42.07)+2.07×(-7.3)时，使用运算律会方便不少，所使用的运算律是 乘法分配律 ，计算的结果是 292 .
3. 教材P41例3·变式写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
(--0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5
=--(0.4×0.8×1.25×2.5)(第一步)
=--(0.4×2.5×0.8×1.25)(第二步)
=--[(0.4×2.5)×(0.8×1.25)](第三步)
=--(1×1)=-1.
第一步： 确定积的符号，并把绝对值相乘 ；
第二步： 乘法交换律 ；
第三步： 乘法结合律 .
4. 教材P43练习T1·变式 简便方法计算：
解：原式 (--27)
=--6+9+2=5.
解：原式
5.(2024·河北邢台期末) 的原理是( B).
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律和结合律
D.分配律
6.已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示,有下列结论:①b+c>0;②ac>0;③b-c<0;④(b+c)(b-c)>0,其中正确结论的个数是(C).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.数学文化 小九九 法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，如图两个图框是使用法国“小九九”计算8×9 和6×7 的两个示例.若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数分别为 2，4 .
∵两手伸出的手指的和为7，
未伸出的手指数的积为2，
∴8×9=72
(8×9=10×(3+4)+2×1=72).
6×7=
左手 右手
∵两手伸出的手指的和为3，未伸出的手指数的积为12，∴6×7=10×(1+2)+4×3=42.
(第7题)
8.已知整数m，n，p，q满足 mnpq=49,且m9.在一列数:a ,a ,a ,…, an中， 且任意相邻的三个数的积都相等.若前n个数的积等于64，则n= 18或16或23 .
10. 教材P41例3·变式计算:
解：原式
解：原式 1.4-45=-43.6.
解：原式 2.5×6=28-30+14+15=27.
11. 计算： (-24).
小琪的计算过程如下：
解：原式 (-24)①
=-14-20-24②
=-58.③
请问小琪的计算过程正确吗 如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程.
解：小琪的做法错误，第②步开始出错.
正确解法如下：原式 (--24)-1×(-24)=-14+20+24=30.
12.已知a,b,c,d,m,它们之间有如下关系:a,b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为5,则(a+b+ cd)m--cd 的值是多少
解:∵a,b互为相反数,∴a+b=0.
∵c,d 互为倒数,∴cd=1.
∵m的绝对值为5,∴m=5或m=-5.
当m=5时,原式=(0+1)×5-1=4;
当m=--5时,原式=(0+1)×(--5)-1=-6,
∴原式的值是4或-6.29
13.(2024·广西南宁期中)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算.
逆用乘法分配律解题
我们知道,乘法分配律是a(b+c)= ab+ ac,反过来 ab+ ac=a(b+c).这就是说,当 ab+ ac中有相同的a 时，我们可以逆用乘法分配律得到 ab+ ac=a(b+c),进而可使运算简便.例如：计算 若利用先乘后减显然很烦琐，注意到两项都有 因此逆用乘法分配律可得 这样计算就简便得多.
计算：
(1)-29×588+28×588;
解:(1)-29×588+28×588
=588×(-29+28)=588×(-1)=-588.
=2023×(-1)=-2023.
14.阅读理解：
计算 时，若把 与 分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大减小难度.过程如下：
解：设 为A 为B,则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB- 请用上面方法计算：
解:(1)设 为 为B，则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=
(2)设 为A, 为B,则原式=B(1+A)-A(1+B)
第3课时有理数的乘法(3)
1.(2024·广东东莞期中)下列选项错误的是(B ).
A. (-2)×(-4)=8
C. (-5)×(-2)×(-4)=-40
D. (-3)×(-2)×(-4)=-24
2.有 2 024个有理数相乘，如果积为0,那么这2 024个数中(C ).
A.全部为0
B.只有一个为0
C.至少有一个为0
D.有两个数互为相反数
3.教材P42探究·变式 式子 (+3.8)×(-981)×(-66)的符号为 负号 .
4. 教材P43练习T2·变式计算:
(1)-2×3×(-4);
解:-2×3×(-4)=2×3×4=24.
(2)(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2).
解:(-3)×(-1)×2×(-6)×0×(-2)=0.
5. 已知 abc>0,a>0, ac<0,则下列结论判断正确的是(D ).
A. b>0,c>0 B. b>0,c<0
C. b<0,c>0 D. b<0,c<0
6.若a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列结论一定正确的是(C ).
A. abc>0 B. abc<0
C. ac> ab D. ac< ab
7.已知a=(-12)×(-23)×(-34)×(-45),b=(-123)×(-234)×(-345),则下列叙述正确的是(C).
A. a,b皆为正数
B. a,b 皆为负数
C. a 为正数,b为负数
D. a 为负数,b为正数
8.(2024·江苏无锡江阴月考)下列说法正确的是(A ).
A.零减去一个数得这个数的相反数
B.几个有理数相乘，当负乘数有奇数个时，积为负
C.两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减
D.绝对值相等的两数差为零
9.(2024·广东广州荔湾区期末)在数轴上表示有理数a,b,c 的点如图所示,若a+b<0, ac<0,则下面四个结论:①abc<0;②b+c<0;③|a|-|b|>0;④|a-c|<|a|,其中一定成立的结论个数为(A).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.绝对值小于3的所有整数的乘积为 0 .
11.从--5,--8,--1,2,7,3这六个数中取其中3个不同的数作为乘数，则积的最大值为 280 .
12. 已知三个有理数—4,5,—7.
(1)它们的和是 -6 ;
(2)这三个数的积比这三个数的绝对值的和大多少
解:(-4)×5×(-7)-[|-4|+|5|+|-7|]=(--20)×(--7)--(4+5+7)=140--16=124.
故有理数-4，5，-7这三个数的积比这三个数的绝对值的和大124.
13.(2024·江苏盐城射阳期末)若定义一种新的运算“*”,规定有理数a*b=4ab,如2*3=4×2×3=24.
(1)求3*(-4)的值;
(2)求(-2)*(6*3)的值.
解:(1)3*(-4)=4×3×(-4)=-48.
(2)(-2)*(6*3)=(--2)*(4×6×3)=(--2)*72=4×(-2)×72=-576.
14.如图，小莉同学有7张写着不同数字的卡片，她想从中取出若干张卡片，将卡片上的数字进行有理数的运算.
(1)若取出2张卡片，应该抽取哪2张使得数字之积最大 积最大是多少呢
(2)若取出3张卡片，应该抽取哪3张使得数字之积最小 积最小是多少呢
解:(1)取出-6和-4,积最大为(-6)×(-4)=24.
(2)取出-6,3,5,积最小为(-6)×3×5=-90.
15. 阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材2 3×1001=3003;13×1001=13 013;213×1001=213213;…
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000以内的三位正整数进行加密解密，方法如下:记(公钥,私钥)为(a,b)(其中a,b均为两位正整数)，则 例:当明文为123,(a,b)取(13,77)时,加密解密过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
[模型理解]
(1)设.xyz是一个三位数, xyzxyz是一个六位数，则 请说明理由.
(2)设xyz是一个三位数， 是一个四位数，则被1000除的余数为 请说明理由.
[初步应用]
(3)若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
[解决问题]
(4)请再设计一对匹配的钥匙：( 11 ， 91 ).(答案不唯一)
解：
能被 1 000 整除， 被1000除的余数为
∴对于匹配的钥匙(a,b),则有 ab=1001,当公钥a为69，则匹配的私钥

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