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第15练　对数的运算性质
考查要点：对数的运算性质，换底公式
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. lg 2×log810的值为(　　)
A. 3 B. log310 C. D. lg 3
2. (2024滨海东元高级中学、大丰新丰中学期中)设lg 3＝a，10b＝5，则lg 的值为(　　)
A.
B.
C. 3a－2b－1
D. 3a＋2b－2
3. (2024如皋教学质量调研)我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1).当n>0时，N是n＋1位数，则41 000是(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　)
A. 601位数
B. 602位数
C. 603位数
D. 604位数
4. (2024南通质量监测)若x，y满足ln (3x＋y)＝ln x＋ln y，则x＋3y的最小值为(　　)
A. 10＋2
B. 10＋2
C. 12
D. 16
5. (2024徐州期中)设a＝lg 6，b＝lg 20，则log43等于(　　)
A.
B.
C.
D.
6. (2024连云港七校期中联考)中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上声能流密度，声强级LI(单位：dB)与声强I的函数关系式为：LI＝10lg .若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的(　　)
A. 106倍 B. 105倍 C. 104倍 D. 103倍
7. 若方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根为α，β，则α·β的值是(　　)
A. B. lg 35 C. lg 7·lg 5 D. 35
二、 多项选择题
8. (2024连云港高级中学期中)若x>0，y>0，则下列各式中恒等的是(　　)
A. lg x＋lg y＝lg (x＋y)
B. lg ＝lg x－lg y
C. lg x2＝(lg x)2
D. lg ＝3lg y－lg x
9. 已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
三、 填空题
10. (2024苏州黄埭中学月考)若实数a，b满足3a＝4，4b＝9，则ab＝________．
11. (2024南京六校联合体期中联考)若实数a，b，m满足2a＝5b＝m，且＋＝2，则实数m的值为________．
12. 已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log的值为________．
四、 解答题
13. (2024徐州高级中学期中)计算：
(1) 4log23－log37·log79＋log186＋log183；
(2) lg 100＋eln 3＋25－log332·log23.
第15练　对数的运算性质
1. C　lg 2×log810＝lg 2×＝lg 2×＝lg 2×＝.
2. D　由10b＝5，得b＝lg 5，所以lg ＝lg ＝3lg 3－2lg 2＝3a－2(1－lg 5)＝3a－2(1－b)＝3a＋2b－2.
3. C　因为lg 41 000＝lg 22 000＝2 000lg 2≈2 000×0.301 0＝602＋0，即n＝602，所以41 000是603位数．
4. D　因为x，y满足ln (3x＋y)＝ln x＋ln y，所以3x＋y>0，x>0，y>0，所以ln (3x＋y)＝ln x＋ln y＝ln xy，所以3x＋y＝xy，所以＋＝1，所以(x＋3y)·＝＋9＋1＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝y＝4时，取等号，故x＋3y的最小值为16.
5. C　由a＝lg 6，b＝lg 20，得a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝lg 10＋lg 2＝1＋lg 2，联立解得lg 2＝b－1，lg 3＝a－b＋1, 所以log43＝＝＝.
6. B　设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2.由题意，得95＝10lg ，45＝10lg ，则－＝lg －lg ＝lg ，即5＝lg ，所以＝105，即普通列车的声强是高速列车声强的105倍．
7. A　由题意知，lg α，lg β是一元二次方程x2＋(lg 7＋lg 5)x＋lg 7·lg 5＝0的两根．由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)，即lg (α·β)＝lg (7×5)-1，所以α·β＝.
8. BD　对于A，lg x＋lg y＝lg (xy)，故A错误；对于B，根据对数的运算法则，得lg ＝lg x－lg y，故B正确；对于C，lg x2＝2lg x，故C错误；对于D，lg ＝lg y3－lg ＝3lg y－lg x，故D正确．故选BD.
9. CD　因为ba＝4，所以logb4＝a，故a＋log2b＝logb4＋log2b＝2logb2＋log2b＝3，设log2b＝x，则logb2＝，故＋x＝3，解得x＝1或x＝2.当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5.故选CD.
10. 2　由3a＝4，4b＝9，得a＝log34，b＝log49，则ab＝log34·log49＝·＝＝2.
11. 2　由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以＝logm2，＝logm5.又＋＝2，即2logm2＋logm5＝logm20＝2，解得m＝2，所以实数m的值为2.
12. 4　由已知，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，x>2y>0，则 xy＝(x－2y)2，即(x－y)(x－4y)＝0，则x＝4y>0，即＝4，则log＝log4＝4.
13. (1) 原式＝(2log23)2－·＋log18(6×3)＝32－·＋log1818＝9－2＋1＝8.
(2) 原式＝lg 102＋3＋log552－·＝2＋3＋4－5＝4.第13练　指数幂的拓展
考查要点：分数指数幂与根式的相互转化，有理指数幂的运算
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. (2024 惠州一中期中)计算3π×＋(22 )＋1的值为(　　)
A. 17 B. 18 C. 6 D. 5
2. (2024灌云一中阶段检测)下列运算结果中，正确的是(　　)
A. a3·a4＝a12 B. (－a2)3＝a6
C. ＝a D. ＝－π
3. 化简(其中a>0，b>0)等于(　　)
A. －6ab B. －6b C. －ab D. －b
4. (2024南京一中月考)已知10m＝3，10n＝4，则10等于(　　)
A. B. C. D.
5. (2024常州北郊高级中学阶段调研)下列各等式中，成立的是(　　)
A. a＝(a>0) B. a＝(a>0)
C. a＝± (a>0) D. ＝－(a>0)
6. (2024常州一中期中)化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B. a C. D.
7. 已知正数a，b满足×＝3，则3a＋2b的最小值为(　　)
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
二、 多项选择题
8. 已知实数a满足a＋a-1＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2＋a-2＝14 B. a－a-1＝2
C. ＋＝ D. ＝3
9. (2024淮安期中)规定a，b之间的一种运算，记作(a，b)，若ac＝b，则(a，b)＝c，则下列结论中正确的是(　　)
A. (4，6)＝2×(2，3) B. (2，2)＝1
C. (4，5)＋(4，6)＝(4，30) D. 若a>1，b>1，则(a，b)＋(b，a)≥2
三、 填空题
10. (2024滨海东元中学、大丰新丰中学期中联考)计算：＋÷＝________．
11. (2024临沂十八中模拟)计算：8＋＋＝________．
12. (2024东台期末)计算：－(0.6)0－＋(1.5)-2＝________．
四、 解答题
13. (2024常州北郊高级中学阶段调研)化简求值：
(1) π0－()-2＋×()-1；
(2) (a·)-3÷(a>0，b>0).
第13练　指数幂的拓展
1. B　3π×＋(22 )＋1＝＋22 ×＋1＝1π＋24＋1＝18.
2. D　对于A，a3·a4＝a3+4＝a7，故A错误；对于B, (－a2)3＝－a6，故B错误；对于C，当a≥0时，＝a，当a<0时，＝－a，故C错误；对于D，＝－π，故D正确．
3. B　＝－6＝－6b.
4. D　10＝＝＝.
5. B　a＝，a＝，a＝，＝，故选B.
6. A　原式＝＝＝.
7. D　因为×＝3×3＝＝3，所以＋＝1.又a，b为正数，所以3a＋2b＝(3a＋2b)(＋)＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立，所以3a＋2b的最小值为24.
8. ACD　因为a＋a-1＝4，所以(a＋a-1)2＝a2＋a-2＋2＝16，所以a2＋a-2＝14，故A正确；因为(a－a-1)2＝(a＋a-1)2－4＝42－4＝12，所以a－a-1＝±2，故B错误；因为(a＋)2＝a＋2＋a-1＝4＋2＝6，所以a＋＝，故C正确；因为(a＋)3＝a＋＋3a＋3＝a＋＋3(a＋)，且a＋＝，所以()3＝a＋＋3，所以a＋＝3，所以＝＝3，故D正确．故选ACD.
9. BCD　对于A，令(4，6)＝x，(2，3)＝y，则4x＝6，2y＝3，所以＝2，即22x－y＝2，所以2x－y＝1，即2×(4，6)－(2，3)＝1，故A错误；对于B，因为21＝2，所以(2，2)＝1，故B正确；对于C，令(4，5)＝a，(4，6)＝b，(4，30)＝c，则4a＝5，4b＝6，4c＝30，所以4a×4b＝4c，即4a＋b＝4c，所以a＋b＝c，即(4，5)＋(4，6)＝(4，30)，故C正确；对于D，因为a>1，b>1，令(a，b)＝t，则at＝b，且t>0，所以a＝b，则(b，a)＝，所以(a，b)＋(b，a)＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1，即a＝b时，等号成立，故D正确．故选BCD.
10. 7　原式＝22＋＝4＋3＝7.
11. π＋　原式＝＋|3－π|＋＝22＋π－3＋＝4＋π－3＋＝π＋.
12. 　原式＝－1－＋＝－1－＋＝.
13. (1) 原式＝1－[]-2＋2×[]-1＝1－＋＝1－24＋22＝－11.
(2) 原式＝(a·b)-3÷(b-4·a-1)＝(·b-2)÷(b-2·)＝a-1·b0＝.第12练　根　　式
考查要点：n次方根与根式的概念、性质
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. 已知m10＝2，则m的值为(　　)
A. B. ± C. D. ±
2. (2024如东高级中学阶段测试)已知2，5，m是某三角形三边的长，则＋等于(　　)
A. 2m－10 B. 10－2m C. 10 D. 4
3. (2024南通月考)“＝”是“()2＝()2”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. (2024连云港七校期中联考)化简()2＋＋的结果是(　　)
A. 1－a B. 2(1－a) C. a－1 D. 2(a－1)
5. (2024无锡锡东高级中学期中)当有意义时，化简－的结果是(　　)
A. 2x－7 B. －2x＋1 C. －1 D. 7－2x
6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　)
A. 甲同学和乙同学 B. 丙同学和乙同学
C. 乙同学和甲同学 D. 丙同学和甲同学
7. (2024镇江等地区联盟校调研)已知实数a满足|2 022－a|＋＝a，则a－2 0222的值为(　　)
A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025
二、 多项选择题
8. (2024灌云一中阶段检测)若n∈N，a∈R，则下列四个式子中有意义的是(　　)
A. B. C. D.
9. 若an＝b(a≠0，n>1，n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当n为奇数时，b的n次方根为a B. 当n为奇数时，＝a
C. 当n为偶数时，b的n次方根为a D. 当n为偶数时，＝|a|
三、 填空题
10. 若a＝，b＝，则a＋b＝________．
11. 若＝，则实数a的取值范围是________．
12. 已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，则当n是奇数时，＋＝________；当n是偶数时，＋＝________．
四、 解答题
13. 化简：－，其中1第12练　根　　式
1. D　因为m10＝2，所以m＝±.
2. D　因为2，5，m是某三角形三边的长，所以5－23. B　当＝时，取a＝－1，b＝－1，显然，无意义，故()2＝()2不成立，则充分性不成立；当()2＝()2时，a＝b≥0，则a2＝b2≥0，所以＝，则必要性成立，综上，“＝”是“()2＝()2”的必要且不充分条件．
4. C　因为有意义，所以a－1≥0，即a≥1，所以()2＋＋＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.
5. C　因为有意义，所以－x＋1≥0，则x≤1，所以－＝－＝4－x－(5－x)＝－1.
6. C　()10＝52＝25，()10＝25＝32.因为25<32，所以<.又因为()6＝32＝9，()6＝23＝8，所以>，所以<<.又镜片折射率越高，镜片越薄，所以甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄．
7. B　由题意，得a－2 023≥0，则a≥2 023，则|2 022－a|＋＝a可化为a－2 022＋＝a，所以＝2 022，所以a－2 023＝2 0222，所以a－2 0222＝2 023.
8. AC　对于A，因为2n为偶数，所以(－4)2n>0恒成立，有意义，故A正确；对于B，(－4)2n+1<0，无意义，故B错误；对于C，a4为恒大于或等于0的数，有意义，故C正确；对于D，当a<0时，式子无意义，故D错误．故选AC.
9. ABD　当n为奇数时，b的n次方根只有1个，为a，即＝a，故A，B正确；当n为偶数时，因为(±a)n＝an＝b，所以b的n次方根有2个，为±a，即 ＝|a|，故C错误，D正确．故选ABD.
10. 1　因为a＝＝3－π，b＝＝|2－π|＝π－2，所以a＋b＝1.
11. 　由题意，得＝＝|2a－1|，＝1－2a，所以|2a－1|＝1－2a，所以1－2a≥0，解得a≤，故实数a的取值范围是.
12. 2a　－2a　当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
13. 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
因为1所以原式＝x－1－(x＋3)＝－4.第14练　对数的概念
考查要点：对数的概念，对数式与指数式的互化，常用对数与自然对数，对数恒等式
建议用时：40＋2分钟　
一、 单项选择题
1. 已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 5 D.
2. 若loga(2a)＝2，则loga(2＋a)的值为(　　)
A. 4 B. C. 3 D. 2
3. (2024南京协同体九校期中联考)若a＝log32，则3a＋3－a的值为(　　)
A. B. C. D. －
4. (2024淮安期末)若关于x的不等式x2－ax－b≤0的解集是[－2，4]，则logab的值为(　　)
A. 1 B. 3 C. 2 D.
5. (2024连云港高级中学期中)已知log(2x)＝4，则x的值为(　　)
A. －2 B. 0 C. 2 D. 4
6. 计算4的值为(　　)
A. B. 2 C. 4 D. 8
7. 方程2log3x＝的解是(　　)
A. x＝
B. x＝
C. x＝
D. x＝9
二、 多项选择题
8. (2024扬州中学期中)下列四个命题：①lg 10＝1；②若2x＝N(N>0)，则x＝log2N；③lg (ln e)＝1；④lg (ln 10)＝0，其中是真命题的为(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9. 下列指数式与对数式互化中，正确的是(　　)
A. ＝m与＝e
B. 10x＝6与lg 6＝x
C. ＝与＝－
D. ＝3与log93＝
三、 填空题
10. (2024常州一中期中)若log(a－1)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是________．
11. 计算：log2.56.25＋lg ＋ln ＋21＋log23＝________．
12. 方程lg x2－lg (x＋2)＝0的解集是________．
四、 解答题
13. (1) 计算：3－log24＋5log52；
(2) 解关于x的方程：log2(16－2x)＝x.
第14练　对数的概念
1. A　由log3(log5a)＝0，得log5a＝1，即a＝5，同理可得b＝5，故的值为1.
2. D　由loga(2a)＝2，得a2＝2a.又a＞0，a≠1，所以a＝2，所以loga(2＋a)＝log24＝2.
3. A　由题意，得3a＝2，所以3a＋3－a＝2＋＝.
4. B　因为关于x的不等式x2－ax－b≤0的解集是[－2，4]，所以方程x2－ax－b＝0的解为－2，4，则－2＋4＝a，－2×4＝－b，所以a＝2，b＝8，所以logab＝log28＝3.
5. C　由log(2x)＝4，得()4＝2x，即x2＝2x.又x>0，且x≠1，所以x＝2.
6. D　原式＝·＝2×4＝8.
7. A　由2log3x＝，得2log3x＝2-2，所以log3x＝－2，所以x＝3-2＝.
8. AB　对于①，lg 10＝1，故①正确；对于②，由指对数互化知，若2x＝N(N>0)，则x＝log2N，故②正确；对于③，因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝0，故③错误；对于④，因为ln 10≠1，所以lg (ln 10)≠0，故④错误．故选AB.
9. BD　对于A，e＝m化成对数是ln m＝，故A错误；对于B，10x＝6化成对数是lg 6＝x，故B正确；对于C，＝化成对数是log27＝－，故C错误；对于D，9＝3化成对数是log93＝，故D正确．故选BD.
10. (1，2)∪(2，5)　要使log(a－1)(5－a)有意义，则解得111. 　原式＝2＋(－2)＋＋2×3＝＋6＝.
12. {－1，2}　由题意，得解得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1，2}．
13. (1) 3－log24＋5log52＝－1－2＋2＝－1.
(2) 因为log2(16－2x)＝x，所以16－2x＝2x，即2x＝8，解得x＝log28＝3.

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