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南京市2025届高一分班数学模拟试卷
数学学科
注意事项：
1.本试卷6页，共120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．太阳系中的“巨无霸”——木星形成于太阳系第一批固体出现后的380万年，则380万用科学计数法表示为（ ▲ ）
A．3.8×106 B．38×105 C．0.38×107 D．38×106
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A．a2＋a4＝a6 B．a3·a4＝a7 C．a6÷a2＝a3 D．(a3)4＝a7
3．在函数中，自变量x的取值范围是（ ▲ ）
A．－1≤x≤1 B．x≥0 C．x≤1 D．－1＜x＜1
4．如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
5．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C是劣弧上的点，连接AB、BC，若OB＝3，∠ABC＝20°，则劣弧的长为（ ▲ ）
A． B． C．π D．2π
6．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得2分的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．实数64的算数平方根是 ▲ 。
8．分解因式：x2y－9y＝ ▲ 。
9．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ▲ 。
10．若正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是 ▲ 。
11．小雨、小花、小台三名学生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是2.1m，方差分别是s2小雨＝1.50，s2小花＝1.05，s2小台＝0.95，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是
▲ 。
12．甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是
▲ 。
13．如图，函数y＝ax(a＜0)与函数y＝(k＜0)的图象交于点A，C，AB垂直于y轴，垂足为点B，连接BC，已知△BOC的面积为1，则k的值为 ▲ 。
14．如图，点A、B、C、D是正方形网格图中的格点，AB与CD交于点O，sin∠AOD＝
▲ 。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，DE＝2AE，连接BE、CE，F是BE的中点，连接DF交CE于点G，若CE＝14，则GE的长为 ▲ cm．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别为AD，BC上一个动点，且AM＝CN，沿直线MN折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为BC上一点，且BP＝2，则PF的最大值为 ▲ ．
（第15题图） （第16题图）
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：（1）＝ （2）＋＝0
18．（7分）先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－(x＋2)2，其中x＝．
19．（9分）人工智能（AI）可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
（第19题图）
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 ▲ ；所调查学生的喜欢项目的众数是
▲ ；
（3）若该校初三年级共有800名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
20．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，过对角线的中点O作BD的垂线EF，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝3，AD＝4，求AE的长．
（第20题图）
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．E是CB上一点，且CE＝CD，过点E作EF∥AB，与CA交于点F．
（1）证明：△ADC≌△FCE；
（2）若E是BC的中点，CD＝6，则△ABC的面积为 ▲ ．
（第21题图）
22．（7分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ▲ ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
23．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是直径，延长边BA，CD交于点P，过点D作DE⊥AP于点E，已知PA＝AC；
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝30°，DE＝3，求⊙O的半径．
（第23题图）
24．（8分）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC．在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA＝60°，距离PA＝80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC＝30°．已知点A与大楼的距离AB为70米．（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC．（结果保留根号）
（第24题图）
25．（9分）为了迎接暑假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 价格 甲 乙
进价（元/双） m m－20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价－进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x－3(a≠0)．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若a＝1，自变量x满足m≤x≤m＋2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p－q＝2．求m的值；
（3）已知A(2a－1, y1)，B(a, y2)，C(a＋2, y3)为该抛物线上的点，若(y1－y3)(y3－y2)＞0，求a的取值范围．
27．（10分）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
（第27题图）
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图2，请直接写出△BDE的面积为 ▲ ．
（2）如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若△ABC的面积为2，求出以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点P是 ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，∠BAP＝∠BCP，证明：
∠ABP＝∠ADP．
（第27题图）
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法）
（第27题图）南京市 2025届高一分班数学模拟试卷
数学学科
注意事项：
1.本试卷 6 页，共 120 分。考试时间为 120 分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在
本试卷上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，
再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定
位置，在其他位置答题一律无效。
4.作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位
置．．．．．．．上）
1．太阳系中的“巨无霸”——木星形成于太阳系第一批固体出现后的 380 万年，则 380 万
用科学计数法表示为（ ▲ ）
A．3.8×106 B．38×105 C．0.38×107 D．38×106
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A．a2＋a4＝a6 B．a3·a4＝a7 C．a6÷a2＝a3 D．(a3)4＝
7
1 a
3．在函数中，自变量 x 的取值范围是（ ▲ ）
－x2＋1
A．－1≤x≤1 B．x≥0 C．x≤1 D．－1＜x＜1
4．如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（ ▲ ）
B． A．
D． C．
⌒
5．如图，OA，OB 是⊙O 的半径，点 C 是劣弧AB上的点，连接 AB、BC，若 OB
＝3，
⌒
∠ABC＝20°，则劣弧AC的长为（ ▲ ）
A． B． C．π D．2π 6．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数
字，甲的卡片分别标有数字 1，3，5，乙的卡片分别标有数字 2，4，6，两人进行轮比
赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大
小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡
片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得 2 分的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把答案
直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）
7．实数 64 的算数平方根是 ▲ 。
8．分解因式：x2y－9y＝ ▲ 。
9．关于 x 的一元二次方程 x2＋4x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 ▲ 。
10．若正多边形的一个外角为 45°，则这个正多边形的边数是 ▲ 。
11．小雨、小花、小台三名学生进行跳远测试，每人 10 次跳远成绩的平均数都是 2.1m，
方
差分别是 s2 2 2小雨＝1.50，s 小花＝1.05，s 小台＝0.95，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是
▲ 。
12．甲车从 A 地出发匀速行驶，它行驶的路程 y（单位：km）与行驶的时间 x（单位：
min）
之间的函数关系如图所示．甲车出发 20min 后，乙车从 A 地出发沿同一路线匀速行驶．若
乙车经过 20min～30min 追上甲车，则乙车的速度 v（单位：km/min）的取值范围是
▲ 。
13
．如图，函数 y＝ax(a＜0)与函数 y＝k(k＜0)的图象交于点 A，C，AB 垂直于 y 轴，垂足
为
x
点 B，连接 BC，已知△BOC 的面积为 1，则 k 的值为 ▲ 。
14．如图，点 A、B、C、D 是正方形网格图中的格点，AB 与 CD 交于点 O，sin∠AOD＝
▲ 。
（第 12 题图） （第 13 题图） （第 14 题图）
15．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，DE＝2AE，连接 BE、CE，F 是 BE
的
中点，连接 DF 交 CE 于点 G，若 CE＝14，则 GE 的长为 ▲ cm．
16．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 M，N 分别为 AD，BC 上一个动点，且
AM＝CN，沿直线 MN 折叠，点 A，B 分别落在点 E，F 处，点 P 为 BC 上一点，且 BP＝
2，则 PF 的最大值为 ▲ ．
（第 15 题图） （第 16 题图）
三、解答题（本大题共 11小题，共 88 分。请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解
答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤）
3－x 1 1 2
17．（8 分）解方程：（1） ＝ （2） ＋ ＝0
4＋x 2 x＋1 x2－1
18．（7 分）先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－(x＋2)2，其中 x＝ ．
19．（9 分）人工智能（AI）可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年
级开展 5 种 AI 兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D
（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同 AI 模块的喜爱情况，从初三年级随机
抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
（第 19 题图）根据以上信息，解决下列问
题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目 E 对应的圆心角的度数为 ▲ ；所调查学生的喜欢项目的众数是
▲ ；
（3）若该校初三年级共有 800 名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢 B（图像识别）模
块的学生人数．
20．（7 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＞AB，过对角线的中点 O 作 BD 的垂线 EF，交
AD 于点 E，交 BC 于点 F．
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（2）若 AB＝3，AD＝4，求 AE 的长．
（第 20 题图）
21．（7 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D．E 是 CB 上一点，且
CE＝CD，过点 E 作 EF∥AB，与 CA 交于点 F．
（1）证明：△ADC≌△FCE；
（2）若 E 是 BC 的中点，CD＝6，则△ABC 的面积为 ▲ ．
（第 21 题图 ）
22．（7 分）学校拟举办庆祝“建国 75 周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班
的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌
面数字分别为 1，2，3 的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在
桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若
两次摸到的数字之和大于 4，则小明胜；若和小于 4，则小红胜；若和等于 4，则重复上述
过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ▲ ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
23．（7 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 是直径，延长边 BA，CD 交于点
P，过点 D 作 DE⊥AP 于点 E，已知 PA＝AC；
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD＝30°，DE＝3，求⊙O 的半径．
（第 23 题图）
24．（8 分）如图，小明利用无人机测大楼的高度 BC．在空中点 P 测得：到地面上一点 A
处的俯角∠MPA＝60°，距离 PA＝80 米，到楼顶 C 点处的俯角∠NPC＝30°．已知点 A
与大楼的距离 AB 为 70 米．（点 A、E、B 共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点 P 到地面 AB 的距离 PE；
（2）求大楼的高度 BC．（结果保留根号）
（第 24 题图）
25．（9 分）为了迎接暑假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其
中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
甲 乙
价格
进价（ 元 / 双 ） m m －2 0
售价 （元 / 双 ） 240 160
已知：用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1） 求 m 的值；
（2） 要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润（利润＝售价－进价）不少于
21700 元，且不超过 22300 元，问该专卖店有几种进货方案？
（3） 在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动
鞋每双优惠 a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大
利润应如何进货？
26．（9 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2－2a2x－3(a≠0)．
（1）求该抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示）；
（2）若 a＝1，自变量 x 满足 m≤x≤m＋2 时，此函数的最大值为 p，最小值为 q，且 p
－q
＝2．求 m 的值；
（3）已知 A(2a－1, y1)，B(a, y2)，C(a＋2, y3)为该抛物线上的点，若(y1－y3)(y3－y2)＞0，求
a 的取值范围．
27．（10 分）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD
相交于点 O．若梯形 ABCD 的面积为 1，试求以 AC，BD，AD＋BC 的长度为三边长的三
角形的面积．
（第 27 题图）
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个
三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解
决这个问题．他的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，得到的△BDE 即
是以 AC，BD，AD＋BC 的长度为三边长的三角形（如图 2）．参考小文同学的思考问题的
方法，解决下列问题：
（1） 如图 2，请直接写出△BDE 的面积为 ▲ ．
（2） 如图 3，△ABC 的三条中线分别为 AD，BE，CF，若△ABC 的面积为 2，求出以
AD，
BE，CF 的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点 P 是 ABCD 内的一点，连接 PA，PB，PC，PD，∠BAP＝∠BCP，证明：
∠ABP＝∠ADP．
（第 27 题图）
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段 a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形
的三条中线长分别为线段 a、b、c 的长．（保留作图痕迹，不写作法）
（第 27 题图）南京市2025届高一分班数学模拟试卷
数学学科参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D C A C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
题号 7 8 9 10 11
答案 8 y(x＋3)(x－3) 4 8 小雨
题号 12 13 14 15 16
答案 1.5≤v≤1.8 －2 4 5＋
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8分）
解：（1）方程两边同乘2(4＋x)，得2(3－x)＝4＋x．
解这个方程，得x＝．
检验：当x＝时，2(4＋x)＝≠0，x＝是原方程的解．
（2）方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x－1＋2＝0．
解这个方程，得x＝－1．
检验：当x＝－1时，(x＋1)(x－1)＝0，x＝－1是增根，原方程无解．
18．（7分）
解：
，
当时，原式．
19．（9分）
（1）解：已知C项目人数为9人，占比，则总人数为（人），D项目人数为（人），
补全条形统计图如图：
（2）；所调查学生的喜欢项目B的人数最多，故众数是B；
（3）样本中喜欢B（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有800名学生，所以估计喜欢B模块的学生人数为人，
答：喜欢B（图像识别）模块的学生人数是240人．
20．（7分）
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）设，则，而，
在中，根据勾股定理，
，
解得：，
．
21．（7分）
（1）证明：，，
，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：由（1）可知，
，
连接，
是的中点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
的面积．
22．（7分）
（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
23．（7分）
（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，而为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为．
24．（8分）
（1）解：∵，
∴，
在中，，则（米），
答：点到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，如图所示：
在中，，则（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，则（米），
∴（米），
答：大楼的高度为米．
25．（9分）
解：（1）依题意得，，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．
经检验，m=100是原分式方程的解．
∴m=100．
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105．
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案．
（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
26．（9分）
（1）解：∵，
∴，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
如图，∵，当时，即，
此时函数的最大值为，最小值为，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得：，不符合题意，舍去，
如图，当，即时，
同理可得：，，
∴，
解得：（舍去）
如图，当，即时，
同理可得：，，
∴，
解得：，（舍去），
如图，当时，
同理：当时，，
当时，，
∴，
解得：，不符合题意，舍去
综上：或；
（3）解：∵，
∴，或，；
∴当，时，即，
∵的对称轴为直线，
∴，且，
解得，；
当，时，即，
∵对称轴为直线，
∴，且，
解得，，
综上所述，或．
27．（10分）
（1）解：设梯形的高为，
∵，
梯形的面积为1，
∴，
过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）平移到，可得，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即M为的中点，
又∵，
∴，，
∴
∵F为的中点，
∴，
∴
∴N为的中点，
∴E为各边中线的交点，
∵为中线，
∴，
∵为中线，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
而，
∴，
即的面积为面积的，
连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
可知与在一条直线上，
∵，
∴的面积等于的面积，
又的面积等于，
∴的面积等于，
∴，
∴的面积等于的面积，
∴的面积等于的面积的，
又为的中线，
∴的面积是面积的，
∴的面积是面积的，
∴，
又的面积为2，
∴，
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于，
故答案为：．
（3）过点P作，分别交、于点E、F，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又
∴，
∴；
（4）以a，b，c为三边作，作出中点N，
连结，作出的中点M，连结交于点E，
延长到A，使，连结，并延长，在的延长线上截得，连结，，，则与互相平行，四边形是平行四边形，
延长长B，使，连结，就是所求作的三角形.南京市 2025届高一分班数学模拟试卷
数学学科参考答案
一、 选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12分。在每小题所给出的四个选
项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置．．．．．．．上）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D C A C
二、 填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20分。不需写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）
题号 7 8 9 10 11
答案 8 y( x ＋3 )( x－ 3 ) 4 8 小雨
题号 12 13 14 15 16
3 10
答案 1.5 ≤v ≤ 1 .8 －2 4 5＋ 13
10
三、 解答题（本大题共 11小题，共 88分。请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作
答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8 分）
解：（1）方程两边同乘 2(4＋x)，得 2(3－x)＝4＋x．解这个方程，得 x＝
．
检验：当 x＝ ，x＝ 是原方程的解．
（2）方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x－1＋2＝0．解这个方程，得 x＝－
1．
检验：当 x＝－1 时，(x＋1)(x－1)＝0，x＝－1 是增根，原方程无解．
18．（7 分）
解：(x 3)(x 3) (x 2)2
x2 9 x2 4x 4
x2 9 x2 4x 4
4x 13，
当 x 时，原式 4 13 15 ．
19．（9 分）
（1）解：已知 C 项目人数为 9 人，占比 15% ，则总人数为 9 15%
60
（人），D 项目人数为 60 6 18 9 12 15 （人），补全条形统计图如
图：
（2） 360 72 ；所调查学生的喜欢项目 B 的人数最多，故众数
是 B；
（3）样本中喜欢 B（图像识别）模块的比例为 ，该校初三年级共有 800 名学生，
所以估计喜欢 B 模块的学生人数为 800 240 人，
答：喜欢 B（图像识别）模块的学生人数是 240 人．
20．（7 分）
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
AD∥BC，
EDB DBF, DEF BFE，在 EDO和△FBO 中，
EDB DBF
DEF BFE，
DO BO
△EDO≌△FBO(AAS)，
EO FO，
∵BO DO，
∴四边形 DEBF 是平行四边形，又 DE
EF， ∴平行四边形 DEBF 是菱形；
（2）设 AE x，则 BE DE 4 x，而 AB 3，在 Rt AEB 中，根据勾股定理 BE2
AE2 AB2 ，
(4 x)2 x2 32，解得：x
，
AE ．
21．（7 分）
（1） 证明： EF∥AB，CD AB，
CD EF ，
ACB 90 ，
CEF CFE 90 ， CFE ACD 90 ，
\ CEF= ACD，
在△ADC 与△FCE 中，
CEF ACD
CE CD ，
ECF CDA 90
ADC≌ FCE(ASA) ；
（2） 解：由（1）可知 ADC≌ FCE， CD CE 6 ，连接
DE， E 是 BC 的中点，
DE CE 6，BC 2CE 12，
CDE 是等边三角形，
ECD 60 ， CFE 60 ，
ACD 30 ， AC 43，
ABC 的面积 AC BC 4 3 12 24 3．
22．（7 分）
（1） 解：∵一共有 3 张牌，其中写有数字 1 的牌有 1 张，且每张牌被摸到的概率相
同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ，故答案为：
；
（2） 解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有 6 种（和为 4 的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的
数字之和大于 4 的结果数有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 有 3 种，
∴小明获胜的概率为 ，小红获胜的概率为 ，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
23．（7 分）
（1） 证明：连接 OD， ∵PA AC，OD OC， ∴ P PCO CDO， ∴OD∥AP，又
∵DE AP，
∴ DEA ODE 90 ，而 OD 为半径，
∴DE 是 O 的切线；
（2） 解：∵AC 为直径，
∴ ADC ADP 90 ，
∵PA AC，
∴ P ACD 30 ，又∵DE
AP，DE 3，
∴PD 2DE 6，
PD 6
AP 4 3
在 Rt ADP 中， cosP 3 ，
2
∴AC AP 4 3，
∴ O 的半径为 2 3．
24．（8 分 ）（1） 解 ：
∵MN∥AB，
∴ PAB MPA 60 ，
在 Rt PE 3APE 中，sin PAE ，则 PE 80 sin60 80 40 3 （米），
PA 2
答：点 P到地面 AB 的距离 PE 为 40 3 米；
（2）解：延长 BC 交 MN 于 D 点，如图所示：
AE 1
在 Rt APE 中，cos PAE ，则 AE 80 cos60 80 40 （米），
PA 2
∵AB 70 米，
∴BE AB AE 70 40 30（米），
∵ PEB DBE EPD 90 ，
∴四边形 PEBD 为矩形， ∴BD PE
403 米，PD BE 30 米，
CD 3
在 Rt△PCD 中，tan DPC ，则 CD 30tan30 30 10 3（米），
PD 3
∴BC BD CD 40 3 10 3 30 3（米），
答：大楼的高度 BC 为 30 3 米．
25．（9 分）
2400
解：（1）依题意得， 3000 ，
m m 20
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得 m=100．
经检验，m=100 是原分式方程的解．
∴m=100．
（2） 设购进甲种运动鞋 x 双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
240 100 x 160 80 (200 x) 21700① 根据题意
得，{ ，
240 100 x 160 80 (200 x) 22300②
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是 95≤x≤105．
∵x 是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有 11 种方案．
（3） 设总利润为 W，则 W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000
（95≤x≤105），
①当 50＜a＜60 时，60﹣a＞0，W 随 x 的增大而增大，
∴当 x=105 时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋 105 双，购进乙种运动鞋 95 双．
②当 a=60 时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当 60＜a＜70 时，60﹣a＜0，W 随 x 的增大而减小，
∴当 x=95 时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋 95 双，购进乙种运动鞋 105 双．
26．（9 分）
（1） 解：∵y ax2 2a2x 3，
2a2
∴x a，
2a
∴该抛物线的对称轴为直线 x a；
（2） 解：∵a 1，
∴抛物线为 y=x2 2x 3，抛物线的对称轴为直线
x 1，如图，∵m x m 2 ，当 m 2 1 时，即
m 1，
此时函数的最大值为 p，最小值为 q，
∴当 x m时，p m2 2m 3，
当 x m 2 时，q=(m+ 2)2- 2(m+ 2)- 3=m 2+ 2m- 3 ，
∵p q 2，
∴m2 -2m-3-m2 -2m+3= 2，
解得：m ，不符合题意，舍去，
ì m+2 >1
如图，当 í ，即 1 m 0 时， 1-m>m+2-1
同理可得：p m2 2m 3，q 1 2 3 4，
∴m2 -2m-3+4 = 2，
解得：m 1 2 （m 1 2 舍去）
ì m 1
如图，当 í ，即 0 m 1 时， 1-m m+2-1
同理可得：p=(m+ 2)2- 2(m+ 2)+3=m 2+ 2m- 3 ，q 1 2 3 4，
∴m2 +2m-3+4 = 2，解得：
m 1 2 ，（m 1 如图， 2 舍去） ，
当 m 1 时，
同理：当 x m时，q m2 2m 3，当 x m 2 时，p=(m+2)2 -
2(m+2)-3 =m2 +2m-3，
∴m2 +2m-3-m2 +2m+3= 2，
解得：m ，不符合题意，舍去综上：m 1 2
或 m 1 2 ；
（3）解：∵ y1 y3 y3 y2 0，
∴y1 y3，y3 y2或 y1 y3，y3 y2 ； ∴当 y1
y3，y3 y2时，即 y1 y3 y2，
∵y ax2 2a2x 3 a 0 的对称轴为直线 x a， ∴a
0，且 a 2 a a 2a 1 ，
解得，a 3；
当 y1 y3，y3 y2 时，即 y1 y3 y2，
∵对称轴为直线 x a，
∴a 0，且 a 2 a a 2a 1 ，
解得，a 1，综上所述，a 1 或 a
3．
27．（10 分）（1）解：设梯
形的高为 h， ∵AD∥BC，
梯形 ABCD 的面积为 1，
h AD BC 1，
过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E，
∴四边形 ADEC 是平行四边形，
∴AD CE，
1
∴S BDE BE h BC CE h BC AD h 1；
2
（2）平移 AF 到 PE，可得 AF∥PE，AF= PE，
∴四边形 AFEP 为平行四边形， ∴AE 与 PF 互相平分，即 M 为
PF 的中点，又∵AP∥FN∥BC， AF AE AE PN
∴ ， ，
FB EC EC NC
∴ AF AE PN FB EC NC ∵F 为 AB 的中点，
∴AF FB，
AE PN AF
∴ 1
EC NC FB ∴N 为 PC 的中点，
∴E 为△PFC 各边中线的交点， ∵FN 为△PFC 中
线，
∴S△FCN S△FNP ，
∵EN 为 PEC 中线，
∴S△ECN S△ENP，
∴S△FCN S△ECN S△FNP S△ENP，
∴S△FEP S△FEC，同理可得：S△FEP
S△PEC，
∴S△FEP S△FEC S△PEC，而 S△FEP
S△FEC S△PEC S△FPC，
∴S△FEP S△FEC S△PEC 1S△FPC ， 3
即 PEC 的面积为△PFC 面积的 ，
连接 DE，
∵AP EF CD, AP CD， ∴四边形
APCD 是平行四边形，可知 DE 与 PE
在 一 条 直 线 上 ， ∵AP∥EF，
∴△AEF 的面积等于△PFE 的面积，
又 △PFE 的 面 积 等 于 FEC，
∴△AEF 的面积等于 FEC，
∴AE EC，
∴△AED 的面积等于△EDC 的面积， ∴△EDC 的面积等于△ADC 的面积的 ，又 AD 为
VABC 的中线， ∴△ADC 的面积是 VABC 面积的 ，
∴△EDC 的面积是 VABC面积的 ，
∴SVPFC 3SVCFE 3SVEDC 3 S△ABC，
4
又 VABC 的面积为 2，
∴SVPFC 3SVCFE 3SVEDC 3S △ABC 2 ，
4
∴以 AD、BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ，故答案为：
．
（3）过点 P 作 EF AD，分别交 AB、DC 于点 E、F，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴AD∥EF∥BC，
∴四边形 ADFE 是平行四边形，四边形 EFCB 是平行四边形，
∴AE DF，BE FC，
∵EF∥BC，
∴ CPF PCB，
∵ BAP BCP．
∴ CPF BAP，
∵AB∥CD，
∴ AEP CFP， ∴VPFC∽VAEP，
∴PF FC，
AE PE PF
BE
∴ ，
DF PE 又 AB∥CD，
∴ BEP DFP，
∴VPFD∽VBEP，
∴ ABP DPF，又 AD∥EF
∴ ADP DPF，
∴ ABP ADP；
（4）以 a，b，c 为三边作△FPC，作出 PC 中点 N，连结 FN，作出 FP 的中点 M，连结 CM
交 FN 于点 E，延长 CE 到 A，使 AE CE，连结 PE，并延长 PE，在 PE 的延长线上截得 DE
PE，连结 AD， CD，AP，则 AC 与 PD 互相平行，四边形 APCD 是平行四边形，延长 CD
长 B，使 BD DC，连结 AB，VABC 就是所求作的三角形.

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