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2025年湖北省“新八校”协作体高三 5月联考
高三数学试题答案和解析
1-8. DCDAA BBD
9.ACD 10.ABD 11.BD
12. 60 13. 6 14. 1305
A B
15.解析：(1)b 2a 4asin2 0
2
可化为b 2a 2a(1 cos(A B)) 0 b 2acosC 0，………………………………（1分）
2
又 a b 3，则 C , A B ………………………………………………………（2分）
3 6
PA PC ,PC 2 , AC 3， sin PAC 6 , cos 30 PAC …………………（4分）
2 6 6
sin PAB sin( CAP) 1 30 3 6 30 3 2则 ………………………（6分）
6 2 6 2 6 12
（2）方法 1：化为角的关系 sin B 2sin AcosC 0，………………………………………（8分）
变形得 sin(A C) 2sin AcosC 0 3sin AcosC cos AsinC 0
即3tan A tanC 0……………………………………………………………………………（10分）
又 tanB tan(A C) tan A tanC ，由b 2acosC 0知C为钝角，则A为锐角，tan A 0
1 tan A tanC
tan A 3tan A 2tan A 2 2 3 2 1 1 3tan A 3
1 3tan A tan A 3tan A 2 1tan A 3tan Atan A

当且仅当 tan A 3 时等号成立∴ Bmax ……………………………………………………（13分）3 6
2 b 2a a
2 b2 c2
方法 ：化为边的关系 0 a2 2b2 c2 0，…………………………（8分）
2ab
a2 c2 b2
又 cosB ，…………………………………………………………………………（10分）
2ac
2 2
a2 c2 c a 3a2 c2 2 3ac 3
2
2ac 4ac 4ac 2

当且仅当 c 3a等号成立∴ Bmax ………………………………………………………（13分）6
16.解析：（I）当a 2时， f (x) x2 ex ， f (x) 2x e x ，……………………………（2分）
则 f (0) 0 e0 1， f (0) 0 e0 1，
所以切线方程为： y 1 (x 0)，即 x y 1 0；………………………………………（4分）
湖北省新八校教科研协作体*数学答案（共 5页）第 1页，
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(II)当 x 0时， f (x) x 1 1恒成立，即： ax2 ex x 1 0在 0，+ 上恒成立，
2
1 2 x
设 g(x) ax e x 1，则 g (x) ax e x 1，
2
令 h(x) ax e x 1， x 0，则 h (x) a e x．
①当 a 1时，因为 ex e0 1，则 h (x) 0，
可知 g (x)在 0，+ 上单调递减，则 g (x) g (0) 0，所以 g(x)在 0，+ 上单调递减，
所以 g(x) g(0) 0，即 f (x) x 1恒成立，所以 a 1满足题意；……………………（9分）
②当 a 1时，令 h (x) 0，解得： x ln a，
当 x (0, lna)时， h (x) 0，则 g (x)单调递增，
此时 g (x) g (0) 0，则 g(x)在 (0, lna)上单调递增，所以 g(x) g(0) 0，
即当 x (0, ln a)时， f (x) x 1，即 f (x) x 1不恒成立，可知 a 1不合题意．（14分）
综上所述， a ,1 ．………………………………………………………………………（15分）
（注：本文也可以通过参变分离和必要性探路等方法解决，请酌情给分。）
17.解析：解:（1）设 Ai=“甲在第 轮活动中答对”， Bi= “乙在第 轮活动中答对”，
Ci=“甲乙在第 轮活动中都答对”， (i 1,2)，
则 P(C2) P(A1A2)P(B1B2) P(A1A2)P(B1B2) P(A1A2)P(B1B2) P(A1A2)P(B1B2)
1 3 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1
，………………………（3分）
2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3 4
P(C C 1 3 1 2 11 2) P(A1A2)P(B1B2) 2 4 2 3 8
1
故 P(C C )
P(C
1
C2 ) 1
1 2
8
1 ………………………………………………………………（6分）P(C2 ) 2
4
（2）第二轮甲答对的概率为 P(A2) P(A1A2) P(A
1 3 1 1 1
1A2) 2 4 2 4 2
1 1 1 2 1
第二轮乙答对的概率为 P(B2) P(B1B2) P(B1B2) ，2 3 2 3 2
依此类推得到 P(A )
1
n ， P(Bn )
1
，
2 2
1 1 1
每一轮甲乙都答错的概率为 ，…………………………………………………………（8分）
2 2 4
3 i 1 1
因此 P(Y i) ,(i 1,2, ,n, )…………………………………………………………（10分）
4 4
0
E(Y ) 1 3 1 2 3
1 1 n 1
n 3 1则 ①……………………………………（12分）
4 4 4 4 4 4
3 3 1 1 3 2 1 3 n 1
所以 E(Y ) 1 2

n

，②…………………………………（13分）4 4 4 4 4 4 4
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1 1 3 1 1 3 2 1 3 n
①—②得 E(Y ) lim[1 ] 1 ，4 4 4 4 4 4 n 4
所以 E(Y ) 4 .……………………………………………………………………………………（15分）
18. '解析：（1）由题设，长轴长 AB A'B ' 4 ,短轴长 2 3，则 OF1 OF2 O 'F 2 1 ,
所以 F2，F2 分别是OB，O B 的中点，而柱体中 ABB A 为矩形，连接OB ，
由 B F2 ∥OF1，| B F2 | |OF1 | 1，
故四边形 F1OB F2 为平行四边形，则OB ∥ F1F 2，……………………………………………（2分）
当 P为 BB 的中点时，则 PF2 ∥OB ，故 PF2 ∥ F1F2 ，
PF 面 PMN，FF '2 1 2 面 PMN，故 F
'
1F2 //平面 PMN .………………………………………（4分）
（2）由题设，令 QF1 m，QF2 n，则m n 4，又 QQ ' 4
tan 4
4 m n
所以 ，tan
4 tan tan 16
，则 tan ……………（7分）
m n 1 tan tan mn 16 mn 16
mn m n
2
因为 2
4，

当且仅当 m=n，即 tan tan 上式取等号，所以 tan 4 .………………………（9分）
3
（3）由VE PMN VM PEF VN PEF ，2 2
正方形 ABB ' A '中 P为中点，易得 E与 A '重合时F2P与EP垂直，
此时 PF2 5,EP 20,
1
则 S PEF 最大值为 5 20 5…………………………（11分）2 2
y2 x2
构建如上图直角坐标系且 B 0,2 ,椭圆方程为 1,设M x1, y4 3 1
,N x2 , y2
设MN : y tx 1,联立椭圆得 3t 2 4 x2 6tx 9 0,且 144 t 2 1 0,
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所以 x x 6t1 2 2 , x1x
9
2 ,3t 4 3t2 4
而 x1 x
2
2 (x1 x2 ) 4x1x2，………………………………………………………………（13分）
12l 12
x x 12 t
2 1 x x
所以 ，令 l t2 1 1，则 1 2 3l 2

1 3l 1
，
1 2 3t 2 4 l
由对勾函数性质知 y 3l 1 在 1, 上递增，故 x1 x2 0,3 ；……………………（16分）l
由V 1E PMN VM PEF VN PEF S PEF x1 x2 2 3 2 2
综上，VE PMN 0,5 .…………………………………………………………………………（17分）
19.解析(1)B1： 1,2,4,7,8； B2： 1,2,6,7,8； B3： 1,5,4,7,8； B4： 1,5,6,7,8.…………………（3分）
(2)因为 a1 2，an 2n，由题意bi 3，5，...2n 1 共 n 1个数,
而bi共有 n 2项，则“调节数列” Bk 共有 n 1种情况……………………………………（5分）
不妨设 B1：2,3,5，...2n 3,2n；则 S1 2 3 5 ... 2n 5 2n 3 2n
B2：2，3，5，...2n 5,2n 1,2n ；则 S2 2 3 5 ... 2n 5 2n 1 2n
依此类推 Bn 1：2，5，7,...2n 3,2n 1,2n；则 Sn 1 2 5 7 ... 2n 3 2n 1 2n
n 1
故 Sk n 1 2 2n n 1 (3 5 ... 2n 3 2n 1) (3 5 , , , 2n 1)
i 1
2 n 1 1 n n 2 (3 5 ... 2n 3 2n 1)
（ 3 2n 1）n 1 2 n 1 1 n n 2
2
2 n 1 1 n n 2 n 1 n 1
(n 1)n(n 1) n3 n2 .………………………………………………………………（9分）
（3）依题意，对任意 i 2，3， ，n 2,
有bi ai 1 1或 ai 1 1，bi 1 ai 1或ai 2 1，
因为 B均为递增数列，所以bi bi 1,即同时满足：
ai 1 1 ai 1①,ai 1 1 ai 2 1②,ai 1 1 ai 2 1③,ai 1 1 ai 1④.
因为 A为递增数列，因此①和②恒成立．
又因为 A为整数数列，对于③，ai 1 1 ai ai 1 ai 2 1也恒成立．…………………（11分）
对于④，一方面，由 ai 1 1 ai 1，得 ai 1 ai 2，即 ai 1 ai 1.
另一方面， ai 1 ai 1，
所以 ai 1 ai 1 i 2,3, ,n 2 ，……………………………………………………………（14分）
即 A从第 2项到第 n 1项是连续的正整数，
所以 a2 a1 1 2，an 1 a2 n 3 an 1 2025 1 2024，
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因此 2 a2 2027 n，
故 a2共有 2026 n种不同取值，即所有符合条件的数列 A共有 2026 n个．……………（17分）
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{#{QQABQQAhwgC4gBQACZ7KQwlwCAsQkICTLSouBVCauAwKQRNABCA=}#}2025年湖北省“新八校”协作体高三5月联考
高三数学试卷
命题学校：荆州中学
命题救师：高三数学组
审题学校：那阳中学随州一中
考试时间：2025年5月3日下午15：00-17：00
试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.
已知全集U=,来合4号0，
B={xlog2x之ad,若Bs(CA,则a的取值范围
是()
A.（-0,2]
B.[2,+o)
C.（2,+oo）
D.[1,+oo)
2.复数z满足z(1+)=V15+,则复数z=（)
A.2-i
B.2+i
C.2-2i
D.1+2i
3.
已知向量a=(2,0),6=（-3,v3,则cos(a,a+b)=()
4.3
B.、3
2
c
4.已知{a}是无穷数列，a=1,则“对任意的m,n∈N，都有amx=am+an”是“{a}是等
差数列”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5,将函数f(x)=cos
ox+石@>0)的图象向左平移写个单位长度后与函数()-sn(@)的
6
图象重合，则ω的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.8
湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第1页
6.在正三棱台ABC-DEF中，P,Q分别为棱AB,BC的中点，AB=2DE,四边形PQFD为
正方形，则BC与平面ACFD所成角的正弦值为()
A.3
3
B.6
c.3
D.
3
6
6
7.已知圆C:(x+1)2+y2=16,圆C2:(x-1)2+y2=2(0若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为马，2，则一+二的值为
ee
()
A.2
B.4
C.6
D.8
8.已知f)=e-e+h(R+1-对，且f血m)+f”)=0,则下列可能成立的是()
A.nB.1C.mD.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知0A.若A,B互斥，则P(B)=P(AB)
B,若P(B|A)>P(B|A),则P(A|B)C.若A,B相互独立，则P(A+B)=1-P(A)P(B)
D.若A,B互斥，则A,B不相互独立
10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，M,N,P,Q分别是棱CD,AA,AB,CD的
中点，动点E在正方体表面运动，则()
A.PN与A,M为异面直线
B.AB与MW所成的角为90
C.平面PMW截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D.E=4A+42-2148,则E点轨迹长度为5
11.已知函数f(x)=anx(a>0),过点A(0,)作平行于x轴的直线交曲线y=f(x)于点B,曲线
y=f(x)在点B处的切线1交y轴于点C则()
2
A.当a=1时，切线1的方程为y=二x
B.当a=1时，△MBC的面积为)8
C.点C的坐标为
a-t
0
D.△4BC面积的最小值为e
湖北省新八校教科研协作体*数学试卷（共4页）第2页

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