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2025年广东省高考数学学业水平训练（一）
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
3．“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．非充分非必要条件．
4．已知函数，则“”是“在上的单调递增”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机事件的概率不为0，若和相互独立，则和一定不互斥
B．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4
C．数据的平均数为2，方差为12，则
D．设随机变量服从正态分布，则
10．已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．若为减函数，则 B．若存在极值，则
C．若，则 D．若，则
11．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为2
C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 .
13．已知，则 ．
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，△ABC的面积为，求边上的高.
16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小．
17. 如图，在平面四边形中，，，，，点为的中点，将沿折至的位置，使得四棱锥的体积为1.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）证明：数列是以为公比的等比数列；
（3）定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）.2025年广东省高考数学学业水平训练（一）
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】且，当时，；当时，；
当时，；当时，；所以，
所以.
故选：B
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】B
【解析】，所以.故选：B．
3．“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．非充分非必要条件．
【答案】A
【详解】由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立；
反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立，
故“”是“圆成立的充分不必要条件.
故选：A
4．已知函数，则“”是“在上的单调递增”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在为单调递增，满足，
解得，∴，
当时，在上为增，
综上，在为单增时，
∴，是在为增函数的必要不充分条件．
故选：B．
5．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为，
由已知，故，所以，，则，
故，所以，，故.
故选：D.
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】由已知条件求出、，结合的范围，再由
可得答案.
【详解】，①
由，
得，代入①，
解得，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，
所有.
故选：A.
7．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令椭圆的左焦点为，则，
由椭圆定义知，则，
设直线交椭圆于、两点（如图），
而，即，
当且仅当点、、共线时取等号.
当点与重合时，，则，
当点与重合时，，则，
所以，即，经检验，此时点在内，
所以.故选：B.
8．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】由，得，故.
由题意得，，，
由得，.
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，
∴，即，，
∴，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴当时，取极小值也是最小值，最小值为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机事件的概率不为0，若和相互独立，则和一定不互斥
B．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4
C．数据的平均数为2，方差为12，则
D．设随机变量服从正态分布，则
【答案】AD
【解析】对于A中，由随机事件的概率不为0，即，
若事件和互斥，则，
若事件和相互独立，则，
所以事件和相互独立，则事件和一定不互斥，所以A正确；
对于B中，将代入回归方程为，可得，
则样本点的残差为，所以B不正确；
对于C中，数据的平均数为2，方差为12，
可得且，
可得，
所以，所以C错误；
对于D中，由随机变量服从正态分布，可得
则，所以D正确.
故选：AD.
10．已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．若为减函数，则 B．若存在极值，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【分析】对求导可得，当时，也为减函数，可得A错误；若存在极值可知存在“变号”零点，可得B正确；由可得，构造并判断单调性可得，C正确；由可得，易知，可得，构造函数并判断单调性即可求得，D正确.
【详解】因为，所以，
所以当时，为减函数，A错误．
若存在极值，则存在“变号”零点．
因为可得，所以，即，B正确．
若，则，即．
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上是增函数，
所以，所以，C正确．
若，即．由，得，即，
所以，易知，所以．
设，．
设，所以在上单调递增，
结合，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
所以，所以，即，D正确．
故选：BCD．
11．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为2
C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值
【答案】D
【分析】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点.
【详解】
A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误；
B选项，由抛物线的定义知，所以，
由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；
C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以，
所以，所以，所以，
联立得，得，从而，
所以，故C错误；
D选项，设，联立得，，
设，则，设轴上存在一点，
则
，
故当时，，即存在使得为定值，故D正确.
故选：D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 .
12.【答案】3
【分析】设出等差数列的公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，
化简可得，解得，
所以.
故答案为：.
13．已知，则 ．
13.【答案】/
【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得.
【详解】由可得，
，
，
，
，
.
故答案为：.
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 .
【答案】
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】分奖品在、和号箱里三种情况，根据全概率公式计算即可.
【详解】奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，
故；奖品在2号箱里，
主持人打开3号箱的概率为1，故；
奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，
故，由全概率公式可得：，.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，△ABC的面积为，求边上的高.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角.
（2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高.
【小问1详解】
由正弦定理，得，又，所以，
所以，
整理，得，即，
又，所以，
所以，故.
【小问2详解】
由ABC的面积为，得，所以.
由余弦定理，得，
所以，
设边上的高，
由，解得.
16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面．
（1）求的值；
（2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质定理可得；
（2）取的中点，连接，先找到二面角的平面角，再利用正切值证明是等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐系，求出平面的法向量，再代入空间线面角公式求解.
【小问1详解】
因为平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理可得，
又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点，
所以.
【小问2详解】
取的中点，连接，
因为，所以，
又均为圆半径，的中点，所以，
所以为二面角的平面角，
又面，所以，
所以即是等腰直角三角形，即，
所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成的角为.
17. 如图，在平面四边形中，，，，，点为的中点，将沿折至的位置，使得四棱锥的体积为1.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用余弦定理求出，再根据勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，即可得证；
（2）根据棱锥体积求出四棱锥的高，从而可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
连接，
在中，，，，
由余弦定理，得，所以，
所以，所以，
因为，，所以，则，
在△ADE中，，，
由余弦定理，得，所以，
故，所以，
又，所以，
则，，
又，，平面，所以平面，
因平面，故平面平面；
【小问2详解】
设四棱锥的高为，
由，得，
由（1）可知，平面平面，，
所以即为四棱锥的高，
所以平面，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量
，则即
取，得，，所以，
设平面的一个法向量，
则，即取，得，，所以，
所以，
设二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.
18．（17分）已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．
【解析】（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由（1）可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减；
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减；
证明：（3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得．
由（2）知：在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，则，
令（a）（a），则当时恒成立，
故（a）在上单调递减，则（a）（3），
即（a）当时恒成立，
则（a）在上单调递减，则，
故．
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）证明：数列是以为公比的等比数列；
（3）定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率.
（2）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线与轴交点坐标，结合已知推理得证.
（3）利用（2）求出的坐标，求出的面积，求出数列的所有项和的函数关系，再求出其最小值即可.
【小问1详解】
设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，
依题意，，解得，，
则双曲线的渐近线方程为，即，
所以双曲线的离心率为
【小问2详解】
由（1）知，，双曲线的方程为，
设，，则，，
过的直线斜率不为0，设直线的方程为，
由消去并整理得，，
则，， ，
直线的斜率，直线的方程为，
令，则
，因此直线恒过定点，
又直线与轴的交点为，于是，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问3详解】
由对称性知，直线也恒过定点，则，，
因此
，，
则是以为首项，为公比的等比数列，数列的所有项和
，设，则，
由过的直线与双曲线的右支交于两点，得，即，
则，又函数在上单调递减，
则 ，，
所以数列的所有项和的最小值为.

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